Задания, страница 105, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите это свойство, используя линию котангенсов (рис. 13.7).

Рис. 13.7

Доказательство свойства линии котангенсов

Задача состоит в том, чтобы доказать, что абсцисса точки пересечения луча $OP_{\alpha}$ с линией котангенсов равна котангенсу угла $\alpha$.

Рассмотрим на координатной плоскости единичную окружность с центром в начале координат $O(0,0)$. Линия котангенсов — это касательная к окружности в точке $(0,1)$, заданная уравнением $y=1$. Точка $P_{\alpha}$ на единичной окружности, которая соответствует углу поворота $\alpha$, имеет координаты $(\cos\alpha, \sin\alpha)$. Прямая, проходящая через начало координат $O$ и точку $P_{\alpha}$, пересекает линию котангенсов в точке $B_{\alpha}$. Поскольку точка $B_{\alpha}$ лежит на прямой $y=1$, ее ордината равна 1. Обозначим ее координаты как $(x_0, 1)$. Наша цель — доказать, что абсцисса этой точки $x_0$ равна $\mathrm{ctg}\,\alpha$.

Для доказательства воспользуемся методом подобия треугольников. Построим два прямоугольных треугольника. Первый треугольник, $\triangle OFB_{\alpha}$, образуется точками $O(0,0)$, $B_{\alpha}(x_0, 1)$ и проекцией точки $B_{\alpha}$ на ось ординат — точкой $F(0,1)$. Катеты этого треугольника — $OF$ и $FB_{\alpha}$. Второй треугольник, $\triangle OGP_{\alpha}$, образуется точками $O(0,0)$, $P_{\alpha}(\cos\alpha, \sin\alpha)$ и проекцией точки $P_{\alpha}$ на ось ординат — точкой $G(0, \sin\alpha)$. Катеты этого треугольника — $OG$ и $GP_{\alpha}$.

Треугольники $\triangle OFB_{\alpha}$ и $\triangle OGP_{\alpha}$ подобны. У них обоих есть прямой угол (при вершинах $F$ и $G$ соответственно), и они имеют общий острый угол при вершине $O$, так как точки $O$, $P_{\alpha}$ и $B_{\alpha}$ лежат на одной прямой. Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих катетов равно: $ \frac{OF}{OG} = \frac{FB_{\alpha}}{GP_{\alpha}} $

Выразим длины сторон треугольников через координаты. Длина катета $OF$ — это расстояние от $O(0,0)$ до $F(0,1)$, следовательно, $OF = 1$. Длина катета $OG$ — это расстояние от $O(0,0)$ до $G(0, \sin\alpha)$, следовательно, $OG = |\sin\alpha|$. Длина катета $FB_{\alpha}$ — это расстояние от $F(0,1)$ до $B_{\alpha}(x_0, 1)$, следовательно, $FB_{\alpha} = |x_0 - 0| = |x_0|$. Длина катета $GP_{\alpha}$ — это расстояние от $G(0, \sin\alpha)$ до $P_{\alpha}(\cos\alpha, \sin\alpha)$, следовательно, $GP_{\alpha} = |\cos\alpha - 0| = |\cos\alpha|$.

Подставим полученные длины в пропорцию: $ \frac{1}{|\sin\alpha|} = \frac{|x_0|}{|\cos\alpha|} $

Из этого соотношения выразим $|x_0|$: $ |x_0| = \frac{|\cos\alpha|}{|\sin\alpha|} = |\mathrm{ctg}\,\alpha| $

Мы установили, что абсолютные значения $x_0$ и $\mathrm{ctg}\,\alpha$ равны. Теперь необходимо убедиться, что их знаки также совпадают. Если угол $\alpha$ находится в I или III координатной четверти, то $\cos\alpha$ и $\sin\alpha$ имеют одинаковые знаки, поэтому $\mathrm{ctg}\,\alpha$ является положительным. При таких углах точка $B_{\alpha}$ находится в правой полуплоскости, и ее абсцисса $x_0$ также положительна. Если же угол $\alpha$ находится во II или IV координатной четверти (как показано на рисунке 13.7), то $\cos\alpha$ и $\sin\alpha$ имеют разные знаки, и $\mathrm{ctg}\,\alpha$ отрицателен. В этом случае точка $B_{\alpha}$ находится в левой полуплоскости, и ее абсцисса $x_0$ также отрицательна. Следовательно, знаки $x_0$ и $\mathrm{ctg}\,\alpha$ всегда совпадают.

Поскольку и абсолютные величины, и знаки $x_0$ и $\mathrm{ctg}\,\alpha$ совпадают, мы можем заключить, что $x_0 = \mathrm{ctg}\,\alpha$. Свойство доказано.

Ответ: Свойство доказано путем установления подобия треугольников $\triangle OFB_{\alpha}$ и $\triangle OGP_{\alpha}$. Из пропорциональности их катетов следует, что $|x_0| = |\mathrm{ctg}\,\alpha|$. Анализ знаков для всех четырех координатных четвертей показывает, что знак $x_0$ всегда совпадает со знаком $\mathrm{ctg}\,\alpha$, следовательно, $x_0 = \mathrm{ctg}\,\alpha$.