Номер 13.6, страница 106, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.6. Найдите наименьший положительный период функции:

1) $y = \sin2x - \operatorname{ctg}0,5x;$

2) $y = \operatorname{tg}5x - \operatorname{tg}x;$

3) $y = \frac{2}{3}\operatorname{tg}4x + \cos2x;$

4) $y = 2 - 5\operatorname{ctg}2x;$

5) $y = \operatorname{tg}4x - \cos4x;$

6) $y = \operatorname{tg}\frac{x}{3} + \operatorname{ctg}\frac{x}{3}.$

1) Период функции $y = \sin(2x) - \text{ctg}(0,5x)$ равен наименьшему общему кратному (НОК) периодов функций $f(x) = \sin(2x)$ и $g(x) = \text{ctg}(0,5x)$.

Наименьший положительный период функции $\sin(kx)$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Для $f(x) = \sin(2x)$ период $T_1 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Наименьший положительный период функции $\text{ctg}(kx)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. Для $g(x) = \text{ctg}(0,5x) = \text{ctg}(\frac{1}{2}x)$ период $T_2 = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$.

Теперь найдем НОК этих периодов: $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\pi, 2\pi) = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.

2) Период функции $y = \text{tg}(5x) - \text{tg}(x)$ равен НОК периодов функций $f(x) = \text{tg}(5x)$ и $g(x) = \text{tg}(x)$.

Наименьший положительный период функции $\text{tg}(kx)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$.

Для $f(x) = \text{tg}(5x)$ период $T_1 = \frac{\pi}{5}$.

Для $g(x) = \text{tg}(x)$ период $T_2 = \pi$.

Найдем НОК периодов: $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{\pi}{5}, \pi)$. Для периодов вида $\frac{a}{b}\pi$ и $\frac{c}{d}\pi$ НОК находится по формуле $\frac{\text{НОК}(a, c)}{\text{НОД}(b, d)}\pi$.

$T = \text{НОК}(\frac{1}{5}\pi, \frac{1}{1}\pi) = \frac{\text{НОК}(1, 1)}{\text{НОД}(5, 1)}\pi = \frac{1}{1}\pi = \pi$.

Ответ: $\pi$.

3) Период функции $y = \frac{2}{3}\text{tg}(4x) + \cos(2x)$ равен НОК периодов функций $f(x) = \frac{2}{3}\text{tg}(4x)$ и $g(x) = \cos(2x)$.

Период функции $f(x)$ определяется функцией $\text{tg}(4x)$ и равен $T_1 = \frac{\pi}{4}$.

Период функции $g(x) = \cos(2x)$ равен $T_2 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Найдем НОК периодов: $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{\pi}{4}, \pi) = \text{НОК}(\frac{1}{4}\pi, 1\pi) = \frac{\text{НОК}(1, 1)}{\text{НОД}(4, 1)}\pi = \pi$.

Ответ: $\pi$.

4) В функции $y = 2 - 5\text{ctg}(2x)$ слагаемое $2$ и множитель $-5$ не влияют на период. Период определяется только функцией $\text{ctg}(2x)$.

Наименьший положительный период функции $\text{ctg}(kx)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$.

Для $\text{ctg}(2x)$ период $T = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

5) Период функции $y = \text{tg}(4x) - \cos(4x)$ равен НОК периодов функций $f(x) = \text{tg}(4x)$ и $g(x) = \cos(4x)$.

Период функции $f(x) = \text{tg}(4x)$ равен $T_1 = \frac{\pi}{4}$.

Период функции $g(x) = \cos(4x)$ равен $T_2 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Найдем НОК периодов: $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) = \text{НОК}(\frac{1}{4}\pi, \frac{1}{2}\pi) = \frac{\text{НОК}(1, 1)}{\text{НОД}(4, 2)}\pi = \frac{1}{2}\pi = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

6) Для функции $y = \text{tg}\frac{x}{3} + \text{ctg}\frac{x}{3}$ можно найти период, упростив выражение.

$y = \frac{\sin\frac{x}{3}}{\cos\frac{x}{3}} + \frac{\cos\frac{x}{3}}{\sin\frac{x}{3}} = \frac{\sin^2\frac{x}{3} + \cos^2\frac{x}{3}}{\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}}$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем:

$y = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin(2\cdot\frac{x}{3})} = \frac{2}{\sin(\frac{2x}{3})}$.

Период этой функции совпадает с периодом функции $\sin(\frac{2x}{3})$.

Наименьший положительный период функции $\sin(kx)$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

Следовательно, $T = \frac{2\pi}{|2/3|} = 2\pi \cdot \frac{3}{2} = 3\pi$.

Ответ: $3\pi$.