Номер 13.1, страница 106, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.1. Докажите, что является четной функция $y = f(x):$

1) $f(x) = x^2\text{tg}^2x;$

2) $f(x) = x^4\text{ctg}^2x;$

3) $f(x) = -\text{ctg}(-x)^2 - 5;$

4) $f(x) = x\text{tg}^3x;$

5) $f(x) = \frac{\text{ctg}5x}{x^3 - 4x} - \text{cos}3x;$

6) $f(x) = \frac{\text{tg}3x}{x^5 - 9x} + \text{cosx}.$

Для того чтобы доказать, что функция $y = f(x)$ является четной, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).

2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(-x) = f(x)$.

1) $f(x) = x^2\operatorname{tg}^2x$

Область определения функции $D(f)$ задается условием $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно начала координат.

Проверим выполнение равенства $f(-x) = f(x)$:

$f(-x) = (-x)^2\operatorname{tg}^2(-x)$.

Так как $(-x)^2 = x^2$ и $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}x$, то $\operatorname{tg}^2(-x) = (-\operatorname{tg}x)^2 = \operatorname{tg}^2x$.

Следовательно, $f(-x) = x^2\operatorname{tg}^2x = f(x)$.

Оба условия выполняются, значит, функция является четной.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) $f(x) = x^4\operatorname{ctg}^2x$

Область определения функции $D(f)$ задается условием $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно начала координат.

Проверим выполнение равенства $f(-x) = f(x)$:

$f(-x) = (-x)^4\operatorname{ctg}^2(-x)$.

Так как $(-x)^4 = x^4$ и $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg}x$, то $\operatorname{ctg}^2(-x) = (-\operatorname{ctg}x)^2 = \operatorname{ctg}^2x$.

Следовательно, $f(-x) = x^4\operatorname{ctg}^2x = f(x)$.

Оба условия выполняются, значит, функция является четной.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3) $f(x) = -\operatorname{ctg}(-x)^2 - 5$

Область определения $D(f)$ задается условием $\sin(-x) \neq 0$, что эквивалентно $-\sin x \neq 0$ или $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно нуля.

Проверим выполнение равенства $f(-x) = f(x)$. Для этого найдем $f(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$ в исходное выражение:

$f(-x) = -\operatorname{ctg}(-(-x))^2 - 5 = -\operatorname{ctg}(x)^2 - 5 = -\operatorname{ctg}^2x - 5$.

Теперь упростим исходное выражение для $f(x)$, используя свойство нечетности котангенса $\operatorname{ctg}(-u) = -\operatorname{ctg}u$:

$f(x) = -(\operatorname{ctg}(-x))^2 - 5 = -(-\operatorname{ctg}x)^2 - 5 = -\operatorname{ctg}^2x - 5$.

Сравнивая полученные выражения, видим, что $f(-x) = f(x)$. Функция является четной.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4) $f(x) = x\operatorname{tg}^3x$

Область определения функции $D(f)$ задается условием $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно начала координат.

Проверим выполнение равенства $f(-x) = f(x)$:

$f(-x) = (-x)\operatorname{tg}^3(-x)$.

Так как $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}x$, то $\operatorname{tg}^3(-x) = (-\operatorname{tg}x)^3 = -\operatorname{tg}^3x$.

Следовательно, $f(-x) = (-x)(-\operatorname{tg}^3x) = x\operatorname{tg}^3x = f(x)$.

Оба условия выполняются, значит, функция является четной.

Ответ: Что и требовалось доказать.

5) $f(x) = \frac{\operatorname{ctg}5x}{x^3 - 4x} - \cos3x$

Область определения $D(f)$ задается условиями: $\sin 5x \neq 0$ (т.е. $x \neq \frac{\pi k}{5}$) и $x^3 - 4x \neq 0$ (т.е. $x(x^2 - 4) \neq 0$, откуда $x \neq 0, x \neq \pm 2$). Область определения симметрична относительно нуля.

Проверим выполнение равенства $f(-x) = f(x)$:

$f(-x) = \frac{\operatorname{ctg}(5(-x))}{(-x)^3 - 4(-x)} - \cos(3(-x))$.

Используем свойства функций: $\operatorname{ctg}(-u) = -\operatorname{ctg}u$, $\cos(-u) = \cos u$.

$f(-x) = \frac{-\operatorname{ctg}5x}{-x^3 + 4x} - \cos3x = \frac{-\operatorname{ctg}5x}{-(x^3 - 4x)} - \cos3x = \frac{\operatorname{ctg}5x}{x^3 - 4x} - \cos3x = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: Что и требовалось доказать.

6) $f(x) = \frac{\operatorname{tg}3x}{x^5 - 9x} + \cos x$

Область определения $D(f)$ задается условиями: $\cos 3x \neq 0$ (т.е. $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$) и $x^5 - 9x \neq 0$ (т.е. $x(x^4 - 9) \neq 0$, откуда $x \neq 0, x \neq \pm\sqrt{3}$). Область определения симметрична относительно нуля.

Проверим выполнение равенства $f(-x) = f(x)$:

$f(-x) = \frac{\operatorname{tg}(3(-x))}{(-x)^5 - 9(-x)} + \cos(-x)$.

Используем свойства функций: $\operatorname{tg}(-u) = -\operatorname{tg}u$, $\cos(-u) = \cos u$.

$f(-x) = \frac{-\operatorname{tg}3x}{-x^5 + 9x} + \cos x = \frac{-\operatorname{tg}3x}{-(x^5 - 9x)} + \cos x = \frac{\operatorname{tg}3x}{x^5 - 9x} + \cos x = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: Что и требовалось доказать.