Номер 13.19, страница 108, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.19. Найдите период функции:

1) $y = \{x\} + \mathrm{tg}\pi x;$

2) $y = \mathrm{ctg}4x - \mathrm{sin}2x;$

3) $y = 2\{2x\} + \mathrm{cos}4\pi x;$

4) $y = \left\{\frac{x}{3}\right\} + 2\mathrm{tg}\frac{\pi x}{3}.$

1) Функция $y = \{x\} + \text{tg}(\pi x)$ является суммой двух функций: $f_1(x) = \{x\}$ и $f_2(x) = \text{tg}(\pi x)$.

Период функции $f_1(x) = \{x\}$ (дробная часть числа) равен $T_1 = 1$.

Период функции тангенс $\text{tg}(u)$ равен $\pi$. Для функции $f_2(x) = \text{tg}(\pi x)$ период $T_2$ находится по формуле $T_2 = \frac{\pi}{|k|}$, где $k=\pi$. Таким образом, $T_2 = \frac{\pi}{\pi} = 1$.

Период суммы двух периодических функций равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов. В данном случае $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(1, 1) = 1$.

Ответ: 1.

2) Функция $y = \text{ctg}(4x) - \text{sin}(2x)$ является разностью двух функций: $f_1(x) = \text{ctg}(4x)$ и $f_2(x) = \text{sin}(2x)$.

Период функции котангенс $\text{ctg}(u)$ равен $\pi$. Для функции $f_1(x) = \text{ctg}(4x)$ период $T_1$ находится по формуле $T_1 = \frac{\pi}{|k|}$, где $k=4$. Таким образом, $T_1 = \frac{\pi}{4}$.

Период функции синус $\text{sin}(u)$ равен $2\pi$. Для функции $f_2(x) = \text{sin}(2x)$ период $T_2$ находится по формуле $T_2 = \frac{2\pi}{|k|}$, где $k=2$. Таким образом, $T_2 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Период разности двух периодических функций равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов. $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{\pi}{4}, \pi)$.

Чтобы найти НОК, ищем такие наименьшие натуральные числа $n_1$ и $n_2$, что $n_1 T_1 = n_2 T_2$.

$n_1 \frac{\pi}{4} = n_2 \pi \implies \frac{n_1}{4} = n_2$. Наименьшие натуральные значения: $n_1=4$, $n_2=1$.

Тогда период $T = n_1 T_1 = 4 \cdot \frac{\pi}{4} = \pi$. Или $T = n_2 T_2 = 1 \cdot \pi = \pi$.

Ответ: $\pi$.

3) Функция $y = 2\{2x\} + \text{cos}(4\pi x)$ является суммой двух функций: $f_1(x) = 2\{2x\}$ и $f_2(x) = \text{cos}(4\pi x)$.

Период функции $f(x) = \{kx\}$ равен $T = \frac{1}{|k|}$. Для функции $f_1(x) = 2\{2x\}$ (множитель 2 не влияет на период), где $k=2$, период $T_1 = \frac{1}{2}$.

Период функции косинус $\text{cos}(u)$ равен $2\pi$. Для функции $f_2(x) = \text{cos}(4\pi x)$ период $T_2$ находится по формуле $T_2 = \frac{2\pi}{|k|}$, где $k=4\pi$. Таким образом, $T_2 = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$.

Период суммы двух периодических функций равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов. В данном случае $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: 0,5.

4) Функция $y = \{\frac{x}{3}\} + 2\text{tg}\frac{\pi x}{3}$ является суммой двух функций: $f_1(x) = \{\frac{x}{3}\}$ и $f_2(x) = 2\text{tg}\frac{\pi x}{3}$.

Период функции $f(x) = \{kx\}$ равен $T = \frac{1}{|k|}$. Для функции $f_1(x) = \{\frac{x}{3}\}$, где $k=\frac{1}{3}$, период $T_1 = \frac{1}{1/3} = 3$.

Период функции тангенс $\text{tg}(u)$ равен $\pi$. Для функции $f_2(x) = 2\text{tg}\frac{\pi x}{3}$ (множитель 2 не влияет на период), где $k=\frac{\pi}{3}$, период $T_2$ находится по формуле $T_2 = \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{\pi/3} = 3$.

Период суммы двух периодических функций равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов. В данном случае $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(3, 3) = 3$.

Ответ: 3.