Номер 14.2, страница 110, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.2. Используя свойство периодичности тригонометрических функций, замените тригонометрическое выражение, равным ему, той же тригонометрической функцией наименьшего положительного аргумента:

1) $cos \frac{20\pi}{9}$, $tg \frac{21\pi}{5}$, $sin \frac{23\pi}{7}$;

2) $ctg \frac{23\pi}{9}$, $tg \frac{41\pi}{5}$, $sin \frac{16\pi}{7}$.

1) Для выражения $cos(\frac{20\pi}{9})$:

Основной период функции косинус равен $2\pi$. Используя свойство периодичности $cos(x) = cos(x + 2\pi k)$ для любого целого числа $k$, найдем наименьший положительный аргумент. Для этого представим аргумент $\frac{20\pi}{9}$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно периоду $2\pi$.

$\frac{20\pi}{9} = \frac{18\pi + 2\pi}{9} = \frac{18\pi}{9} + \frac{2\pi}{9} = 2\pi + \frac{2\pi}{9}$.

Отсюда следует, что $cos(\frac{20\pi}{9}) = cos(2\pi + \frac{2\pi}{9}) = cos(\frac{2\pi}{9})$.

Аргумент $\frac{2\pi}{9}$ является наименьшим положительным, так как он находится в интервале $(0, 2\pi)$.

Ответ: $cos(\frac{2\pi}{9})$

Для выражения $tg(\frac{21\pi}{5})$:

Основной период функции тангенс равен $\pi$. Используя свойство периодичности $tg(x) = tg(x + \pi k)$ для любого целого числа $k$, найдем наименьший положительный аргумент.

Представим аргумент $\frac{21\pi}{5}$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно периоду $\pi$.

$\frac{21\pi}{5} = \frac{20\pi + \pi}{5} = \frac{20\pi}{5} + \frac{\pi}{5} = 4\pi + \frac{\pi}{5}$.

Отсюда следует, что $tg(\frac{21\pi}{5}) = tg(4\pi + \frac{\pi}{5}) = tg(\frac{\pi}{5})$.

Аргумент $\frac{\pi}{5}$ является наименьшим положительным, так как он находится в интервале $(0, \pi)$.

Ответ: $tg(\frac{\pi}{5})$

Для выражения $sin(\frac{23\pi}{7})$:

Основной период функции синус равен $2\pi$. Используя свойство периодичности $sin(x) = sin(x + 2\pi k)$ для любого целого числа $k$, найдем наименьший положительный аргумент.

Представим аргумент $\frac{23\pi}{7}$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно периоду $2\pi$.

$\frac{23\pi}{7} = \frac{14\pi + 9\pi}{7} = \frac{14\pi}{7} + \frac{9\pi}{7} = 2\pi + \frac{9\pi}{7}$.

Отсюда следует, что $sin(\frac{23\pi}{7}) = sin(2\pi + \frac{9\pi}{7}) = sin(\frac{9\pi}{7})$.

Аргумент $\frac{9\pi}{7}$ является наименьшим положительным, так как $0 < \frac{9\pi}{7} < 2\pi$.

Ответ: $sin(\frac{9\pi}{7})$

2) Для выражения $ctg(\frac{23\pi}{9})$:

Основной период функции котангенс равен $\pi$. Используя свойство периодичности $ctg(x) = ctg(x + \pi k)$ для любого целого числа $k$, найдем наименьший положительный аргумент.

Представим аргумент $\frac{23\pi}{9}$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно периоду $\pi$.

$\frac{23\pi}{9} = \frac{18\pi + 5\pi}{9} = \frac{18\pi}{9} + \frac{5\pi}{9} = 2\pi + \frac{5\pi}{9}$.

Отсюда следует, что $ctg(\frac{23\pi}{9}) = ctg(2\pi + \frac{5\pi}{9}) = ctg(\frac{5\pi}{9})$.

Аргумент $\frac{5\pi}{9}$ является наименьшим положительным, так как он находится в интервале $(0, \pi)$.

Ответ: $ctg(\frac{5\pi}{9})$

Для выражения $tg(\frac{41\pi}{5})$:

Основной период функции тангенс равен $\pi$. Используя свойство периодичности $tg(x) = tg(x + \pi k)$ для любого целого числа $k$, найдем наименьший положительный аргумент.

Представим аргумент $\frac{41\pi}{5}$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно периоду $\pi$.

$\frac{41\pi}{5} = \frac{40\pi + \pi}{5} = \frac{40\pi}{5} + \frac{\pi}{5} = 8\pi + \frac{\pi}{5}$.

Отсюда следует, что $tg(\frac{41\pi}{5}) = tg(8\pi + \frac{\pi}{5}) = tg(\frac{\pi}{5})$.

Аргумент $\frac{\pi}{5}$ является наименьшим положительным.

Ответ: $tg(\frac{\pi}{5})$

Для выражения $sin(\frac{16\pi}{7})$:

Основной период функции синус равен $2\pi$. Используя свойство периодичности $sin(x) = sin(x + 2\pi k)$ для любого целого числа $k$, найдем наименьший положительный аргумент.

Представим аргумент $\frac{16\pi}{7}$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно периоду $2\pi$.

$\frac{16\pi}{7} = \frac{14\pi + 2\pi}{7} = \frac{14\pi}{7} + \frac{2\pi}{7} = 2\pi + \frac{2\pi}{7}$.

Отсюда следует, что $sin(\frac{16\pi}{7}) = sin(2\pi + \frac{2\pi}{7}) = sin(\frac{2\pi}{7})$.

Аргумент $\frac{2\pi}{7}$ является наименьшим положительным.

Ответ: $sin(\frac{2\pi}{7})$