Номер 14.1, страница 110, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.1. Постройте график функции:
1) $y = \cos \left(x - \frac{2\pi}{3}\right) + 2;$
2) $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 1;$
3) $y = \operatorname{ctg} \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 3.$

1) $y = \cos\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) + 2$

Для построения графика данной функции необходимо выполнить последовательные преобразования графика базовой функции $y = \cos(x)$.

Шаг 1. Построение графика базовой функции $y = \cos(x)$. Это стандартная косинусоида, которая имеет период $2\pi$, амплитуду 1 и проходит через ключевые точки, такие как $(0, 1)$, $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$, $(\pi, -1)$, $\left(\frac{3\pi}{2}, 0\right)$, $(2\pi, 1)$.

Шаг 2. Построение графика функции $y = \cos\left(x - \frac{2\pi}{3}\right)$. Этот график получается путем сдвига (параллельного переноса) графика $y = \cos(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox) на $\frac{2\pi}{3}$ единиц вправо. Это означает, что каждая точка исходного графика смещается вправо на $\frac{2\pi}{3}$. Например, точка максимума $(0, 1)$ переместится в точку $\left(\frac{2\pi}{3}, 1\right)$.

Шаг 3. Построение итогового графика функции $y = \cos\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) + 2$. Этот график получается путем сдвига (параллельного переноса) графика, полученного на предыдущем шаге, вдоль оси ординат (Oy) на 2 единицы вверх. Каждая точка графика $y = \cos\left(x - \frac{2\pi}{3}\right)$ смещается вверх на 2. Таким образом, ось симметрии графика смещается на прямую $y=2$, а область значений функции становится $[ -1+2, 1+2 ]$, то есть $[1, 3]$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \cos(x)$ путем его сдвига на $\frac{2\pi}{3}$ вправо вдоль оси Ox и на 2 вверх вдоль оси Oy.

2) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 1$

Для построения графика данной функции необходимо выполнить последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sin(x)$.

Шаг 1. Построение графика базовой функции $y = \sin(x)$. Это стандартная синусоида с периодом $2\pi$, амплитудой 1 и ключевыми точками $(0, 0)$, $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$, $(\pi, 0)$, $\left(\frac{3\pi}{2}, -1\right)$, $(2\pi, 0)$.

Шаг 2. Построение графика функции $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$. Этот график получается путем сдвига графика $y = \sin(x)$ вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$ единиц вправо. Точка $(0, 0)$ перемещается в точку $\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$, а точка максимума $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ — в точку $\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}, 1\right) = \left(\frac{3\pi}{4}, 1\right)$.

Шаг 3. Построение итогового графика функции $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 1$. Этот график получается путем сдвига графика $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ вдоль оси Oy на 1 единицу вниз. Ось симметрии графика смещается на прямую $y=-1$. Область значений функции становится $[ -1-1, 1-1 ]$, то есть $[-2, 0]$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \sin(x)$ путем его сдвига на $\frac{\pi}{4}$ вправо вдоль оси Ox и на 1 вниз вдоль оси Oy.

3) $y = \text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 3$

Для построения графика данной функции необходимо выполнить последовательные преобразования графика базовой функции $y = \text{ctg}(x)$.

Шаг 1. Построение графика базовой функции $y = \text{ctg}(x)$. Это котангенсоида с периодом $\pi$. Она имеет вертикальные асимптоты в точках $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число. Функция пересекает ось Ox в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.

Шаг 2. Построение графика функции $y = \text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$. Этот график получается путем сдвига графика $y = \text{ctg}(x)$ вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$ единиц влево (так как $x + \frac{\pi}{3} = x - \left(-\frac{\pi}{3}\right)$). Вертикальные асимптоты смещаются влево и теперь задаются уравнениями $x = k\pi - \frac{\pi}{3}$. Например, асимптота $x=0$ смещается в $x = -\frac{\pi}{3}$, а асимптота $x=\pi$ — в $x = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Шаг 3. Построение итогового графика функции $y = \text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 3$. Этот график получается путем сдвига графика $y = \text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ вдоль оси Oy на 3 единицы вверх. Каждая точка графика смещается на 3 единицы вверх. Точки, которые ранее были нулями функции (например, $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$), теперь будут иметь ординату $y=3$. Таким образом, точка $\left(\frac{\pi}{6}, 3\right)$ будет принадлежать графику.

Ответ: График функции получается из графика $y = \text{ctg}(x)$ путем его сдвига на $\frac{\pi}{3}$ влево вдоль оси Ox и на 3 вверх вдоль оси Oy.