Номер 15.4, страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.4.1) $tgt = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $t \in [-0,5\pi; 0]$;

2) $tgt = \sqrt{3}$, $t \in [0; \frac{\pi}{2}]$;

3) $tgt = 1$, $t \in [0; 0,5\pi]$;

4) $tgt = -1$, $t \in [0; \pi]$.

1) Решим уравнение $tgt = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Общее решение этого тригонометрического уравнения имеет вид: $t = \operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$, то общее решение: $t = -\frac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем корни, принадлежащие заданному промежутку $t \in [-0,5\pi; 0]$, то есть $t \in [-\frac{\pi}{2}; 0]$.

Для этого решим двойное неравенство относительно $k$:

$-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{6} + \pi k \le 0$

Разделим все части неравенства на $\pi$ (так как $\pi > 0$, знаки неравенства не меняются):

$-\frac{1}{2} \le -\frac{1}{6} + k \le 0$

Прибавим ко всем частям $\frac{1}{6}$:

$-\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \le k \le \frac{1}{6}$

$-\frac{3}{6} + \frac{1}{6} \le k \le \frac{1}{6}$

$-\frac{2}{6} \le k \le \frac{1}{6}$

$-\frac{1}{3} \le k \le \frac{1}{6}$

Единственное целое число $k$, которое удовлетворяет этому неравенству, это $k = 0$.

Подставим это значение $k$ в формулу общего решения, чтобы найти корень:

$t = -\frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{6}$.

Этот корень принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; 0]$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$.

2) Решим уравнение $tgt = \sqrt{3}$.

Общее решение: $t = \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) + \pi k = \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем корни, принадлежащие промежутку $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Решим двойное неравенство:

$0 \le \frac{\pi}{3} + \pi k \le \frac{\pi}{2}$

Разделим на $\pi$:

$0 \le \frac{1}{3} + k \le \frac{1}{2}$

Вычтем из всех частей $\frac{1}{3}$:

$0 - \frac{1}{3} \le k \le \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

$-\frac{1}{3} \le k \le \frac{3-2}{6}$

$-\frac{1}{3} \le k \le \frac{1}{6}$

Единственное целое значение $k$ в этом интервале — это $k=0$.

Найдем соответствующий корень:

$t = \frac{\pi}{3} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{3}$.

Этот корень принадлежит промежутку $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

3) Решим уравнение $tgt = 1$.

Общее решение: $t = \operatorname{arctg}(1) + \pi k = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем корни, принадлежащие промежутку $[0; 0,5\pi]$, то есть $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Решим двойное неравенство:

$0 \le \frac{\pi}{4} + \pi k \le \frac{\pi}{2}$

Разделим на $\pi$:

$0 \le \frac{1}{4} + k \le \frac{1}{2}$

Вычтем из всех частей $\frac{1}{4}$:

$-\frac{1}{4} \le k \le \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

$-\frac{1}{4} \le k \le \frac{1}{4}$

Единственное целое значение $k$ в этом интервале — это $k=0$.

Найдем соответствующий корень:

$t = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{4}$.

Этот корень принадлежит промежутку $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

4) Решим уравнение $tgt = -1$.

Общее решение: $t = \operatorname{arctg}(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем корни, принадлежащие промежутку $[0; \pi]$.

Решим двойное неравенство:

$0 \le -\frac{\pi}{4} + \pi k \le \pi$

Разделим на $\pi$:

$0 \le -\frac{1}{4} + k \le 1$

Прибавим ко всем частям $\frac{1}{4}$:

$\frac{1}{4} \le k \le 1 + \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} \le k \le \frac{5}{4}$

Единственное целое значение $k$ в этом интервале — это $k=1$.

Найдем соответствующий корень:

$t = -\frac{\pi}{4} + \pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{4}$.

Этот корень принадлежит промежутку $[0; \pi]$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.