Номер 15.5, страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.5.1) $ctg t = - \frac{\sqrt{3}}{3}$, $t \in [-0,5\pi; 0]$;

2) $ctg t = \sqrt{3}$, $t \in [0; \frac{\pi}{2}]$;

3) $ctg t = 1$, $t \in [0; 0,5\pi]$;

4) $ctg t = -1$, $t \in [0; \pi]$.

1) Решим уравнение $ctg(t) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ на промежутке $t \in [-0,5\pi; 0]$.

Общее решение уравнения $ctg(t) = a$ имеет вид $t = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Найдем $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3})$. Используем формулу $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.

$arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Таким образом, общее решение уравнения: $t = \frac{2\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем корни, принадлежащие заданному промежутку $[-\frac{\pi}{2}; 0]$. Для этого будем перебирать целые значения $n$.

При $n = 0$: $t = \frac{2\pi}{3}$. Этот корень не принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; 0]$, так как $\frac{2\pi}{3} > 0$.

При $n = -1$: $t = \frac{2\pi}{3} - \pi = \frac{2\pi - 3\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$. Этот корень принадлежит промежутку, так как $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{3} \le 0$.

При $n = -2$: $t = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = \frac{2\pi - 6\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3}$. Этот корень не принадлежит промежутку, так как $-\frac{4\pi}{3} < -\frac{\pi}{2}$.

Следовательно, на заданном промежутке есть только один корень.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}$

2) Решим уравнение $ctg(t) = \sqrt{3}$ на промежутке $t \in [0; \frac{\pi}{2}]$.

Общее решение уравнения $ctg(t) = a$ имеет вид $t = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \sqrt{3}$. Мы знаем, что $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, общее решение уравнения: $t = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь отберем корни, принадлежащие заданному промежутку $[0; \frac{\pi}{2}]$.

При $n = 0$: $t = \frac{\pi}{6}$. Этот корень принадлежит промежутку, так как $0 \le \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2}$.

При $n = 1$: $t = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$. Этот корень не принадлежит промежутку, так как $\frac{7\pi}{6} > \frac{\pi}{2}$.

При $n = -1$: $t = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}$. Этот корень не принадлежит промежутку, так как $-\frac{5\pi}{6} < 0$.

Таким образом, единственным решением на заданном отрезке является $t = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$

3) Решим уравнение $ctg(t) = 1$ на промежутке $t \in [0; 0,5\pi]$.

Промежуток $[0; 0,5\pi]$ эквивалентен промежутку $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Общее решение уравнения $ctg(t) = a$ дается формулой $t = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для $a = 1$ имеем $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$.

Общее решение: $t = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем корни, которые лежат в промежутке $[0; \frac{\pi}{2}]$.

При $n = 0$: $t = \frac{\pi}{4}$. Этот корень удовлетворяет условию $0 \le \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2}$.

При $n = 1$: $t = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$. Этот корень не входит в заданный промежуток, так как $\frac{5\pi}{4} > \frac{\pi}{2}$.

При $n = -1$: $t = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$. Этот корень также не входит в промежуток, так как $-\frac{3\pi}{4} < 0$.

Следовательно, на указанном промежутке есть только одно решение.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

4) Решим уравнение $ctg(t) = -1$ на промежутке $t \in [0; \pi]$.

Общее решение уравнения $ctg(t) = a$ записывается как $t = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для $a = -1$ находим $arcctg(-1)$. Используя свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$, получаем:

$arcctg(-1) = \pi - arcctg(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Общее решение уравнения: $t = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку $[0; \pi]$.

При $n = 0$: $t = \frac{3\pi}{4}$. Этот корень принадлежит промежутку, так как $0 \le \frac{3\pi}{4} \le \pi$.

При $n = 1$: $t = \frac{3\pi}{4} + \pi = \frac{7\pi}{4}$. Этот корень не принадлежит промежутку, так как $\frac{7\pi}{4} > \pi$.

При $n = -1$: $t = \frac{3\pi}{4} - \pi = -\frac{\pi}{4}$. Этот корень не принадлежит промежутку, так как $-\frac{\pi}{4} < 0$.

Таким образом, существует единственное решение на заданном отрезке.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$