Номер 15.8, страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.8. 1) $ \text{arctg}1; $
2) $ \text{arctg}0; $
3) $ \text{arctg}(-1); $
4) $ \text{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right). $

1) arctg1;

По определению, арктангенс числа $a$, обозначаемый как $\text{arctg } a$, — это угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$.

Таким образом, нам нужно найти такой угол $\alpha$, что $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ и $\text{tg } \alpha = 1$.

Известно, что тангенс угла, равного $\frac{\pi}{4}$, равен 1: $\text{tg } \frac{\pi}{4} = 1$.

Поскольку угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит заданному интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то он и является искомым значением.

Следовательно, $\text{arctg } 1 = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

2) arctg0;

Нам нужно найти угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $\text{tg } \alpha = 0$.

Тангенс угла равен нулю, когда синус этого угла равен нулю (а косинус не равен нулю). Уравнение $\text{tg } \alpha = 0$ эквивалентно уравнению $\text{sin } \alpha = 0$.

Известно, что $\text{tg } 0 = 0$.

Угол $0$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, поэтому он является решением.

Следовательно, $\text{arctg } 0 = 0$.

Ответ: $0$

3) arctg(–1);

Нам нужно найти угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $\text{tg } \alpha = -1$.

Арктангенс является нечетной функцией, что означает, что для любого $x$ из области определения выполняется свойство: $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x)$.

Применим это свойство к нашему выражению: $\text{arctg}(-1) = -\text{arctg}(1)$.

Из первого пункта мы знаем, что $\text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Таким образом, получаем: $\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Угол $-\frac{\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, и $\text{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -1$, что подтверждает правильность решения.

Ответ: $-\frac{\pi}{4}$

4) arctg($-\frac{\sqrt{3}}{3}$);

Нам нужно найти угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $\text{tg } \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Воспользуемся свойством нечетности функции арктангенс: $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x)$.

Следовательно, $\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})$.

Теперь найдем значение $\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})$. Это угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Из таблицы стандартных тригонометрических значений мы знаем, что $\text{tg } \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, поэтому $\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляя это значение обратно, получаем: $\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.

Угол $-\frac{\pi}{6}$ также принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, и $\text{tg}(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$