Номер 15.13, страница 122, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.13. Сравните значения выражений:

1) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ и $\arcsin (-1)$;

2) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ и $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$;

3) $\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ и $\arcsin 0,6$;

4) $\operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ и $\arccos(-0,5).

1) Чтобы сравнить значения выражений $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$ и $arcsin(-1)$, найдем значение каждого из них.

По определению, $arccos(a)$ – это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$. Используя формулу $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$, получаем:

$arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

По определению, $arcsin(a)$ – это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$.

$arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$, так как $sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$ и $-\frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Теперь сравним полученные значения: $\frac{3\pi}{4}$ и $-\frac{\pi}{2}$.

Поскольку $\frac{3\pi}{4}$ является положительным числом, а $-\frac{\pi}{2}$ — отрицательным, то $\frac{3\pi}{4} > -\frac{\pi}{2}$.

Следовательно, $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) > arcsin(-1)$.

Ответ: $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) > arcsin(-1)$.

2) Сравним значения выражений $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ и $arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Найдем значение $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$. Используя формулу $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$, получаем:

$arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Найдем значение $arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$. Это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$, так как $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Теперь сравним полученные значения: $\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{3}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 6: $\frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{6}$.

Сравниваем $\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{2\pi}{6}$. Так как $5\pi > 2\pi$, то $\frac{5\pi}{6} > \frac{2\pi}{6}$.

Следовательно, $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) > arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) > arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$.

3) Сравним значения выражений $arctg(-\frac{\sqrt{2}}{2})$ и $arcsin(0,6)$.

Область значений функции $arctg(x)$ — это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Для отрицательного аргумента $x<0$ значение $arctg(x)$ также будет отрицательным, то есть $arctg(-\frac{\sqrt{2}}{2}) < 0$.

Область значений функции $arcsin(x)$ — это промежуток $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Для положительного аргумента $x>0$ значение $arcsin(x)$ также будет положительным, то есть $arcsin(0,6) > 0$.

Сравнивая отрицательное число $arctg(-\frac{\sqrt{2}}{2})$ и положительное число $arcsin(0,6)$, мы можем заключить, что любое отрицательное число меньше любого положительного.

Следовательно, $arctg(-\frac{\sqrt{2}}{2}) < arcsin(0,6)$.

Ответ: $arctg(-\frac{\sqrt{2}}{2}) < arcsin(0,6)$.

4) Сравним значения выражений $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3})$ и $arccos(-0,5)$.

Найдем значение каждого выражения.

По определению, $arcctg(a)$ – это угол из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен $a$. Используя формулу $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$, получаем:

$arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Найдем значение $arccos(-0,5)$. Используя формулу $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$, получаем:

$arccos(-0,5) = arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Так как оба выражения равны $\frac{2\pi}{3}$, то они равны между собой.

Следовательно, $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = arccos(-0,5)$.

Ответ: $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = arccos(-0,5)$.