Номер 15.14, страница 122, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите значения выражений (15.14–15.16):

15.14. 1) $\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\arcsin (-0,5)$; 2) $\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$;

3) $\arccos 0,5+\arcsin (-1)$; 4) $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}-\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

1) $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \arcsin(-0,5)$

Для вычисления используем свойства обратных тригонометрических функций: $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$ и $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.

Найдем значение каждого слагаемого:

$\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

$\arcsin(-0,5) = \arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin(\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

Теперь сложим полученные значения: $\frac{3\pi}{4} + (-\frac{\pi}{6}) = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi - 2\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{7\pi}{12}$.

2) $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$

Используем свойство $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.

$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Значение $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$ из таблицы равно $\frac{\pi}{3}$.

Теперь выполним вычитание: $\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi - 2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

3) $\arccos 0,5 + \arcsin(-1)$

Найдем значение каждого слагаемого:

$\arccos(0,5) = \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

$\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$ (по определению арксинуса).

Теперь сложим полученные значения: $\frac{\pi}{3} + (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi - 3\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$.

4) $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} - \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})$

Найдем значение каждого члена выражения:

$\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Используем свойство $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$:$\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.

Теперь выполним вычитание: $\frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi + 3\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{12}$.