Номер 15.18, страница 123, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.18. Используя единичную окружность, линии тангенсов и котангенсов, докажите, что для любых чисел $t_1$ и $t_2$ из неравенства $t_1 < t_2$ следует неравенство:

1) $\text{arctg } t_1 < \text{arctg } t_2;$

2) $\text{arcctg } t_1 > \text{arcctg } t_2.$

1) arctgt₁ < arctgt₂

Данное утверждение доказывает, что функция арктангенс является возрастающей. Для доказательства воспользуемся единичной окружностью и линией тангенсов.

Линия тангенсов — это вертикальная прямая, касающаяся единичной окружности в точке $(1, 0)$, её уравнение $x=1$.

По определению, $\alpha = \arctan t$ — это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $t$. Геометрически, значение $t$ равно ординате (координате $y$) точки пересечения конечной стороны угла $\alpha$ с линией тангенсов.

Пусть даны два числа $t_1$ и $t_2$, такие что $t_1 < t_2$. Обозначим $\alpha_1 = \arctan t_1$ и $\alpha_2 = \arctan t_2$.

На линии тангенсов $x=1$ отметим точки $P_1$ с координатами $(1, t_1)$ и $P_2$ с координатами $(1, t_2)$. Поскольку $t_1 < t_2$, точка $P_1$ будет расположена на прямой $x=1$ ниже, чем точка $P_2$.

Угол $\alpha_1$ — это угол, образованный отрезком $OP_1$ (где $O$ — начало координат) и положительным направлением оси $Ox$. Аналогично, угол $\alpha_2$ — это угол, образованный отрезком $OP_2$ и положительным направлением оси $Ox$.

При движении точки по линии тангенсов снизу вверх (то есть при увеличении значения $t$), соответствующий угол $\alpha$ монотонно возрастает от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$. Так как точка $P_1$ находится ниже точки $P_2$, то луч $OP_1$ образует с осью $Ox$ меньший угол, чем луч $OP_2$.

Следовательно, $\alpha_1 < \alpha_2$, что и означает $\arctan t_1 < \arctan t_2$.

Ответ: Неравенство доказано, что подтверждает возрастающий характер функции арктангенс.

2) arcctgt₁ > arcctgt₂

Данное утверждение доказывает, что функция арккотангенс является убывающей. Для доказательства воспользуемся единичной окружностью и линией котангенсов.

Линия котангенсов — это горизонтальная прямая, касающаяся единичной окружности в точке $(0, 1)$, её уравнение $y=1$.

По определению, $\beta = \text{arccot } t$ — это угол из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $t$. Геометрически, значение $t$ равно абсциссе (координате $x$) точки пересечения конечной стороны угла $\beta$ с линией котангенсов.

Пусть даны два числа $t_1$ и $t_2$, такие что $t_1 < t_2$. Обозначим $\beta_1 = \text{arccot } t_1$ и $\beta_2 = \text{arccot } t_2$.

На линии котангенсов $y=1$ отметим точки $Q_1$ с координатами $(t_1, 1)$ и $Q_2$ с координатами $(t_2, 1)$. Поскольку $t_1 < t_2$, точка $Q_1$ будет расположена на прямой $y=1$ левее, чем точка $Q_2$.

Угол $\beta_1$ — это угол, образованный отрезком $OQ_1$ (где $O$ — начало координат) и положительным направлением оси $Ox$. Аналогично, угол $\beta_2$ — это угол, образованный отрезком $OQ_2$ и положительным направлением оси $Ox$.

При движении точки по линии котангенсов слева направо (то есть при увеличении значения $t$), соответствующий угол $\beta$ монотонно убывает от $\pi$ до $0$. Так как точка $Q_1$ находится левее точки $Q_2$, то луч $OQ_1$ образует с осью $Ox$ больший угол, чем луч $OQ_2$.

Следовательно, $\beta_1 > \beta_2$, что и означает $\text{arccot } t_1 > \text{arccot } t_2$.

Ответ: Неравенство доказано, что подтверждает убывающий характер функции арккотангенс.