Номер 15.19, страница 123, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.19. Докажите, что для любых чисел $x_1$ и $x_2$, принадлежащих числовому промежутку $[-1; 1]$, из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство:

1) $\arcsin x_1 < \arcsin x_2$;

2) $\arccos x_1 > \arccos x_2$.

1) $\arcsin x_1 < \arcsin x_2$;

Данное утверждение означает, что функция $y = \arcsin x$ является строго возрастающей на всей своей области определения, то есть на промежутке $[-1; 1]$. Докажем это.

По определению, функция $y = \arcsin x$ является обратной к функции $x = \sin y$, рассматриваемой на промежутке $y \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Пусть даны два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[-1; 1]$ такие, что $x_1 < x_2$.

Обозначим $y_1 = \arcsin x_1$ и $y_2 = \arcsin x_2$. Согласно определению арксинуса, $y_1, y_2 \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, и при этом выполняются равенства $x_1 = \sin y_1$ и $x_2 = \sin y_2$.

Поскольку по условию $x_1 < x_2$, то мы имеем неравенство $\sin y_1 < \sin y_2$.

Функция $t = \sin y$ является строго возрастающей на промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Это означает, что для любых аргументов из этого промежутка, большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

Так как $y_1, y_2 \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, из неравенства $\sin y_1 < \sin y_2$ следует, что $y_1 < y_2$.

Выполнив обратную замену $y_1 = \arcsin x_1$ и $y_2 = \arcsin x_2$, получаем искомое неравенство: $\arcsin x_1 < \arcsin x_2$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что для любых $x_1, x_2 \in [-1; 1]$, если $x_1 < x_2$, то $\arcsin x_1 < \arcsin x_2$.

2) $\arccos x_1 > \arccos x_2$.

Данное утверждение означает, что функция $y = \arccos x$ является строго убывающей на всей своей области определения, то есть на промежутке $[-1; 1]$. Докажем это.

По определению, функция $y = \arccos x$ является обратной к функции $x = \cos y$, рассматриваемой на промежутке $y \in [0; \pi]$.

Пусть даны два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[-1; 1]$ такие, что $x_1 < x_2$.

Обозначим $y_1 = \arccos x_1$ и $y_2 = \arccos x_2$. Согласно определению арккосинуса, $y_1, y_2 \in [0; \pi]$, и при этом выполняются равенства $x_1 = \cos y_1$ и $x_2 = \cos y_2$.

Поскольку по условию $x_1 < x_2$, то мы имеем неравенство $\cos y_1 < \cos y_2$.

Функция $t = \cos y$ является строго убывающей на промежутке $[0; \pi]$. Это означает, что для любых аргументов из этого промежутка, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

Так как $y_1, y_2 \in [0; \pi]$, из неравенства $\cos y_1 < \cos y_2$ следует, что $y_1 > y_2$.

Выполнив обратную замену $y_1 = \arccos x_1$ и $y_2 = \arccos x_2$, получаем искомое неравенство: $\arccos x_1 > \arccos x_2$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что для любых $x_1, x_2 \in [-1; 1]$, если $x_1 < x_2$, то $\arccos x_1 > \arccos x_2$.