Номер 15.17, страница 122, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.17. Вычислите:

1) $2\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 3\text{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 2\text{arcctg}(-1);$

2) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\text{arcctg}\left(-\sqrt{3}\right) + \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \text{arctg} 1;$

3) $3\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} - \text{arctg}(-1) + \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \text{arcctg}\left(-\sqrt{3}\right);$

4) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \text{arctg}\left(-\sqrt{3}\right) - \arcsin(-1) - 2 \text{arctg}\left(\sqrt{3}\right).$

Для решения данных задач необходимо знать значения основных обратных тригонометрических функций и их свойства.

Основные свойства:

• $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$
• $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$
• $\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg}(x)$
• $\operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg}(x)$

Основные значения:

• $\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$, $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$, $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$
• $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$, $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$
• $\operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$, $\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, $\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$
• $\operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$, $\operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$

1) $2\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 3\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 2\operatorname{arcctg}(-1)$

Вычислим значение каждого слагаемого по отдельности:

$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$

$\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\pi}{6}$

$\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$

$\operatorname{arcctg}(-1) = \pi - \operatorname{arcctg}(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$2\left(-\frac{\pi}{3}\right) - 3\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{6} - 2\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{2\pi}{3} + \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} - \frac{6\pi}{4} = -\frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{6} - \frac{3\pi}{2} = -\frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} - \frac{3\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2}$

Ответ: $-\frac{3\pi}{2}$

2) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) + \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \operatorname{arctg}1$

Вычислим значение каждого слагаемого:

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

$2\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) = 2(\pi - \operatorname{arcctg}(\sqrt{3})) = 2\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = 2\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{5\pi}{3}$

$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$

$\operatorname{arctg}1 = \frac{\pi}{4}$

Подставим значения в выражение:

$\frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \left(\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) + \left(\frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{4\pi}{4} + \frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}$

Ответ: $\frac{7\pi}{3}$

3) $3\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} - \operatorname{arctg}(-1) + \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})$

Вычислим значение каждого слагаемого:

$3\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = 3\left(\frac{\pi}{3}\right) = \pi$

$\operatorname{arctg}(-1) = -\operatorname{arctg}(1) = -\frac{\pi}{4}$

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

$\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

Подставим значения в выражение:

$\pi - \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{6} = \pi + \frac{4\pi}{4} + \frac{5\pi}{6} = \pi + \pi + \frac{5\pi}{6} = 2\pi + \frac{5\pi}{6} = \frac{12\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = \frac{17\pi}{6}$

Ответ: $\frac{17\pi}{6}$

4) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) - \arcsin(-1) - 2\operatorname{arctg}(\sqrt{3})$

Вычислим значение каждого слагаемого:

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

$\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$

$\arcsin(-1) = -\arcsin(1) = -\frac{\pi}{2}$

$2\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = 2\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{2\pi}{3}$

Подставим значения в выражение:

$\frac{5\pi}{6} + \left(-\frac{\pi}{3}\right) - \left(-\frac{\pi}{2}\right) - \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} - \frac{4\pi}{6} = \frac{5\pi+3\pi-2\pi-4\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$

Ответ: $\frac{\pi}{3}$