Номер 15.15, страница 122, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.15.1) $\text{arcctg}(-1) - \text{arcctg}\sqrt{3};$

2) $\text{arcctg}(-1) + \text{arcctg}(-\sqrt{3});$

3) $\text{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \text{arcctg}(-\sqrt{3});$

4) $\text{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \text{arcctg}(-\sqrt{3}).$

1) Для решения выражения $arcctg(-1) - arctg(\sqrt{3})$ найдем значения каждого аркфункции по отдельности.

Значение арккотангенса, $arcctg(x)$, — это угол $\alpha$ из интервала $(0; \pi)$, для которого $ctg(\alpha) = x$. Для отрицательных аргументов используется свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.

Найдем $arcctg(-1)$:

$arcctg(-1) = \pi - arcctg(1)$.

Так как $ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$, то $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$.

Следовательно, $arcctg(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Значение арктангенса, $arctg(x)$, — это угол $\beta$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $tg(\beta) = x$.

Найдем $arctg(\sqrt{3})$:

Так как $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ и $\frac{\pi}{3} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то $arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Теперь выполним вычитание:

$arcctg(-1) - arctg(\sqrt{3}) = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3}$.

Приводим к общему знаменателю 12:

$\frac{3\pi \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{\pi \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{9\pi - 4\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{12}$.

2) Вычислим значение выражения $arctg(-1) + arcctg(-\sqrt{3})$.

Арктангенс является нечетной функцией, поэтому используется свойство $arctg(-x) = -arctg(x)$.

Найдем $arctg(-1)$:

$arctg(-1) = -arctg(1)$. Так как $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$, то $arctg(1) = \frac{\pi}{4}$.

Следовательно, $arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Для арккотангенса используем свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.

Найдем $arcctg(-\sqrt{3})$:

$arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3})$. Так как $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$, то $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, $arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Теперь сложим полученные значения:

$arctg(-1) + arcctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{6}$.

Приводим к общему знаменателю 12:

$\frac{-\pi \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{5\pi \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{-3\pi + 10\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{7\pi}{12}$.

3) Вычислим значение выражения $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + arcctg(-\sqrt{3})$.

Для обоих слагаемых используем свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.

Найдем $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3})$:

$arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$. Так как $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, то $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Следовательно, $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Найдем $arcctg(-\sqrt{3})$:

$arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3})$. Так как $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$, то $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, $arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Теперь сложим полученные значения:

$arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + arcctg(-\sqrt{3}) = \frac{2\pi}{3} + \frac{5\pi}{6}$.

Приводим к общему знаменателю 6:

$\frac{2\pi \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{5\pi}{6} = \frac{4\pi + 5\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{2}$.

4) Вычислим значение выражения $arctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + arcctg(-\sqrt{3})$.

Найдем значение каждого слагаемого.

Для арктангенса используем свойство нечетности $arctg(-x) = -arctg(x)$.

$arctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -arctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$. Так как $tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, то $arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, $arctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.

Для арккотангенса используем свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.

$arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3})$. Так как $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$, то $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, $arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Теперь сложим полученные значения:

$arctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + arcctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = \frac{-\pi + 5\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.