Номер 15.20, страница 123, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.20. Расположите в порядке убывания значений выражения:

1) $\arcsin(-0,3)$; $\arcsin(-0,1)$; $\arcsin\frac{\pi}{9}$; $\arcsin\frac{\pi}{6}$;

2) $\arccos(-1)$; $\arccos(-0,2)$; $\arccos\frac{\pi}{5}$; $\arccos\frac{\pi}{9}$.

1) Чтобы расположить значения выражений в порядке убывания, необходимо их сравнить. Функция $y = \arcsin(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения $[-1, 1]$. Это означает, что для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $\arcsin(x_1) < \arcsin(x_2)$.

Следовательно, нам нужно сначала сравнить аргументы данных выражений: $-0,3$; $-0,1$; $\frac{\pi}{9}$; $\frac{\pi}{6}$.

Для сравнения дробей с $\pi$ используем приближенное значение $\pi \approx 3,1416$:

$\frac{\pi}{9} \approx \frac{3,1416}{9} \approx 0,349$

$\frac{\pi}{6} \approx \frac{3,1416}{6} \approx 0,5236$

Все аргументы находятся в области определения арксинуса $[-1, 1]$. Теперь расположим их в порядке возрастания:

$-0,3 < -0,1 < 0,349 < 0,5236$, следовательно, $-0,3 < -0,1 < \frac{\pi}{9} < \frac{\pi}{6}$.

Так как функция $\arcsin(x)$ возрастающая, то и значения функции будут расположены в том же порядке:

$\arcsin(-0,3) < \arcsin(-0,1) < \arcsin(\frac{\pi}{9}) < \arcsin(\frac{\pi}{6})$.

В задаче требуется расположить значения в порядке убывания (от большего к меньшему). Для этого запишем полученный ряд в обратном порядке.

Ответ: $\arcsin(\frac{\pi}{6})$; $\arcsin(\frac{\pi}{9})$; $\arcsin(-0,1)$; $\arcsin(-0,3)$.

2) Функция $y = \arccos(x)$ является строго убывающей на всей своей области определения $[-1, 1]$. Это означает, что для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $\arccos(x_1) > \arccos(x_2)$.

Сравним аргументы данных выражений: $-1$; $-0,2$; $\frac{\pi}{5}$; $\frac{\pi}{9}$.

Используем приближенное значение $\pi \approx 3,1416$:

$\frac{\pi}{5} \approx \frac{3,1416}{5} = 0,62832$

$\frac{\pi}{9} \approx \frac{3,1416}{9} \approx 0,34907$

Все аргументы находятся в области определения арккосинуса $[-1, 1]$. Расположим их в порядке возрастания:

$-1 < -0,2 < 0,34907 < 0,62832$, следовательно, $-1 < -0,2 < \frac{\pi}{9} < \frac{\pi}{5}$.

Поскольку функция $\arccos(x)$ убывающая, то для значений функции порядок неравенств меняется на противоположный:

$\arccos(-1) > \arccos(-0,2) > \arccos(\frac{\pi}{9}) > \arccos(\frac{\pi}{5})$.

Этот ряд уже представляет собой расположение значений в порядке убывания.

Ответ: $\arccos(-1)$; $\arccos(-0,2)$; $\arccos(\frac{\pi}{9})$; $\arccos(\frac{\pi}{5})$.