Задания, страница 125, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Заполните таблицу, используя график функции $y = \arcsin x$ (рис. 16.4).

Область определения

Область (множество) значений

Четность (нечетность)

Монотонность

Наибольшее значение

Наименьшее значение

Нули функции

Область определения. Область определения функции — это проекция ее графика на ось абсцисс (ось Ox). Глядя на график функции $y = \arcsin(x)$, мы видим, что он существует только для значений $x$ от -1 до 1 включительно. Таким образом, область определения — это отрезок $[-1; 1]$. Ответ: $D(y) = [-1; 1]$.

Область (множество) значений. Область значений функции — это проекция ее графика на ось ординат (ось Oy). Для графика функции $y = \arcsin(x)$ все значения $y$ лежат в пределах от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$ включительно. Ответ: $E(y) = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Четность (нечетность). График функции $y = \arcsin(x)$ симметричен относительно начала координат (точки $(0,0)$). Это является графическим признаком нечетной функции. Алгебраически это означает, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$. Ответ: нечетная.

Монотонность. На всем протяжении графика, при движении слева направо (то есть с увеличением $x$), график функции $y = \arcsin(x)$ поднимается вверх. Это означает, что функция является строго возрастающей на всей своей области определения. Ответ: функция строго возрастает на всей области определения $[-1; 1]$.

Наибольшее значение. Наибольшее значение функции — это ордината самой высокой точки графика. Для функции $y = \arcsin(x)$ самая высокая точка имеет координаты $(1, \frac{\pi}{2})$. Следовательно, наибольшее значение функции равно $\frac{\pi}{2}$. Ответ: $y_{наиб} = \frac{\pi}{2}$.

Наименьшее значение. Наименьшее значение функции — это ордината самой низкой точки графика. Для функции $y = \arcsin(x)$ самая низкая точка имеет координаты $(-1, -\frac{\pi}{2})$. Следовательно, наименьшее значение функции равно $-\frac{\pi}{2}$. Ответ: $y_{наим} = -\frac{\pi}{2}$.

Нули функции. Нули функции — это абсциссы точек пересечения графика с осью Ox. График функции $y = \arcsin(x)$ пересекает ось Ox в одной точке — начале координат $(0,0)$. Следовательно, функция обращается в ноль при $x=0$. Ответ: $x = 0$.