Объясните, страница 125, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Как построили график функции $y = \arcsin x$ (рис. 16.3)?

Рис. 16.3

Рис. 16.4

График функции $y = \arcsin(x)$ строится на основе того факта, что арксинус является функцией, обратной к синусу ($y = \sin(x)$). Построение, изображенное на рисунке 16.3, иллюстрирует общее правило построения графиков взаимно обратных функций.

Функция $y = \sin(x)$ является периодической, и на всей своей области определения она не является взаимно-однозначной (например, одному значению $y=0$ соответствуют разные значения $x$: $0, \pi, 2\pi$ и т.д.). Чтобы можно было определить обратную функцию, необходимо ограничить область определения синуса таким промежутком, где функция будет монотонной (только возрастать или только убывать). Общепринято для этой цели выбирать отрезок $ \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] $. На этом отрезке функция $y = \sin(x)$ строго возрастает, принимая все значения от $-1$ до $1$. Именно этот участок графика $y = \sin(x)$ и показан на рисунке 16.3.

Графики взаимно обратных функций всегда симметричны относительно прямой $y=x$. Это фундаментальное свойство следует из определения обратной функции: если точка с координатами $(a, b)$ принадлежит графику исходной функции $y = f(x)$ (то есть $b = f(a)$), то точка с координатами $(b, a)$ будет принадлежать графику обратной функции $y = f^{-1}(x)$ (поскольку $a = f^{-1}(b)$). Преобразование координат $(a, b) \to (b, a)$ — это и есть симметрия относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, прямой $y=x$.

Таким образом, для построения графика $y = \arcsin(x)$ был взят график функции $y = \sin(x)$ на отрезке $ \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] $ и симметрично отражен относительно прямой $y=x$. В результате этого отражения область определения и область значений исходной функции меняются местами. Область определения синуса $ \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] $ становится областью значений арксинуса, а область значений синуса $ [-1, 1] $ становится областью определения арксинуса.

Ключевые точки графика синуса, такие как $ \left(-\frac{\pi}{2}, -1\right) $, $(0, 0)$ и $ \left(\frac{\pi}{2}, 1\right) $, после отражения переходят в точки $ \left(-1, -\frac{\pi}{2}\right) $, $(0, 0)$ и $ \left(1, \frac{\pi}{2}\right) $ соответственно, которые и формируют график арксинуса, показанный на рисунках 16.3 и 16.4.

Ответ: График функции $y = \arcsin(x)$ был построен путем симметричного отражения графика функции $y = \sin(x)$, рассматриваемого на отрезке его монотонного возрастания $ \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] $, относительно прямой $y = x$.