Номер 15.12, страница 122, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.12. 1) $ \arcsin\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right); $

2) $ \arccos\left(-3\frac{1}{5}\right); $

3) $ 2\operatorname{arctg}\left(-\sqrt{3}\right); $

4) $ \arcsin 5; $

5) $ \operatorname{arctg} 17; $

6) $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right)? $

Чтобы определить, какие из данных выражений имеют смысл, необходимо проверить, принадлежит ли аргумент каждой обратной тригонометрической функции её области определения.

1) $\arcsin(-\frac{3\sqrt{3}}{2})$

Область определения функции арксинус $y = \arcsin(x)$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Необходимо проверить, принадлежит ли аргумент $x = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$ этому отрезку.

Возведем модуль аргумента в квадрат: $|-\frac{3\sqrt{3}}{2}|^2 = (\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{9 \cdot 3}{4} = \frac{27}{4} = 6.75$.

Так как $6.75 > 1$, то $|-\frac{3\sqrt{3}}{2}| > 1$, и, следовательно, $-\frac{3\sqrt{3}}{2} < -1$.

Аргумент не входит в область определения арксинуса, поэтому выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

2) $\arccos(-3\frac{1}{5})$

Область определения функции арккосинус $y = \arccos(x)$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Аргумент выражения равен $-3\frac{1}{5} = -3.2$.

Поскольку $-3.2 < -1$, аргумент не входит в область определения арккосинуса.

Ответ: не имеет смысла.

3) $2\text{arcctg}(-\sqrt{3})$

Область определения функции арккотангенс $y = \text{arcctg}(x)$ — это множество всех действительных чисел $(-\infty, +\infty)$.

Аргумент $-\sqrt{3}$ является действительным числом, поэтому выражение $\text{arcctg}(-\sqrt{3})$ определено. Следовательно, и все выражение $2\text{arcctg}(-\sqrt{3})$ имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

4) $\arcsin(5)$

Область определения функции арксинус $y = \arcsin(x)$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Аргумент выражения равен $5$.

Поскольку $5 > 1$, аргумент не входит в область определения арксинуса.

Ответ: не имеет смысла.

5) $\text{arctg}(17)$

Область определения функции арктангенс $y = \text{arctg}(x)$ — это множество всех действительных чисел $(-\infty, +\infty)$.

Аргумент $17$ является действительным числом, поэтому выражение $\text{arctg}(17)$ определено.

Ответ: имеет смысл.

6) $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{3})$

Область определения функции арккосинус $y = \arccos(x)$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Необходимо проверить, принадлежит ли аргумент $x = -\frac{\sqrt{2}}{3}$ этому отрезку.

Возведем модуль аргумента в квадрат: $|-\frac{\sqrt{2}}{3}|^2 = (\frac{\sqrt{2}}{3})^2 = \frac{2}{9}$.

Так как $0 < \frac{2}{9} < 1$, то и $0 < |-\frac{\sqrt{2}}{3}| < 1$. Это означает, что $-1 < -\frac{\sqrt{2}}{3} < 0$.

Аргумент принадлежит области определения арккосинуса.

Ответ: имеет смысл.