Номер 15.7, страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.7.1) $arccos0;$

2) $arccos1;$

3) $arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right);$

4) $arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$

1) arccos0

По определению, арккосинусом числа $a$ (обозначается $\arccos a$) называется такое число (угол) $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$. То есть, $\arccos a = \alpha$ означает, что $\cos \alpha = a$ и $0 \le \alpha \le \pi$.

В данном случае нам нужно найти $\arccos 0$. Это значит, нам нужно найти такой угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, что $\cos \alpha = 0$.

Известно, что косинус равен нулю при углах $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число. Нам нужно выбрать значение, которое попадает в промежуток $[0; \pi]$.

При $k=0$ получаем угол $\alpha = \frac{\pi}{2}$. Этот угол принадлежит промежутку $[0; \pi]$.

Следовательно, $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

2) arccos1

Нам нужно найти угол $\alpha$ в диапазоне $[0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = 1$.

Известно, что косинус равен единице при углах $2\pi k$, где $k$ – любое целое число. Выберем значение, которое попадает в промежуток $[0; \pi]$.

При $k=0$ получаем угол $\alpha = 0$. Этот угол принадлежит промежутку $[0; \pi]$.

Следовательно, $\arccos 1 = 0$.

Ответ: $0$

3) arccos($-\frac{\sqrt{2}}{2}$)

Нам нужно найти угол $\alpha$ в диапазоне $[0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для нахождения арккосинуса отрицательного числа используется формула: $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$, где $a \in [0, 1]$.

В нашем случае $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Применим формулу:

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Найдем $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{4}$.

Теперь подставим это значение обратно в формулу:

$\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Угол $\frac{3\pi}{4}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$, и $\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$

4) arccos($-\frac{\sqrt{3}}{2}$)

Нам нужно найти угол $\alpha$ в диапазоне $[0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Воспользуемся той же формулой: $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$.

Здесь $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Найдем $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{6}$.

Подставим это значение в формулу:

$\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Угол $\frac{5\pi}{6}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$, и $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{6}$