Номер 15.9, страница 122, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Имеют ли смысл выражения (15.9–15.12):

15.9. 1) $ \arcsin(-3);$

2) $ \arcsin(0,7);$

3) $ \arcsin\left(\frac{3}{5}\right);$

4) $ \arcsin\left(-\frac{3\sqrt{3}}{4}\right)?$

Выражение $\arcsin(a)$ имеет смысл (определено), если его аргумент $a$ принадлежит области определения функции арксинус, то есть $a \in [-1, 1]$ или, что то же самое, $-1 \le a \le 1$. Проверим это условие для каждого из данных выражений.

1) В выражении $\arcsin(-3)$ аргумент $a = -3$. Проверяем выполнение условия $-1 \le a \le 1$. Так как $-3 < -1$, условие не выполняется, и число $-3$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Следовательно, данное выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

2) В выражении $\arcsin(0,7)$ аргумент $a = 0,7$. Проверяем выполнение условия $-1 \le a \le 1$. Так как $-1 \le 0,7 \le 1$, условие выполняется, и число $0,7$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Следовательно, данное выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

3) В выражении $\arcsin\left(\frac{3}{5}\right)$ аргумент $a = \frac{3}{5}$. В десятичной форме это $a = 0,6$. Проверяем выполнение условия $-1 \le a \le 1$. Так как $-1 \le 0,6 \le 1$, условие выполняется, и число $\frac{3}{5}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Следовательно, данное выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

4) В выражении $\arcsin\left(-\frac{3\sqrt{3}}{4}\right)$ аргумент $a = -\frac{3\sqrt{3}}{4}$. Чтобы проверить, принадлежит ли это число отрезку $[-1, 1]$, сравним его модуль $|a| = \left|-\frac{3\sqrt{3}}{4}\right| = \frac{3\sqrt{3}}{4}$ с числом $1$. Для этого сравним $3\sqrt{3}$ и $4$. Поскольку оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты: $(3\sqrt{3})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$ и $4^2 = 16$. Так как $27 > 16$, то и $3\sqrt{3} > 4$. Разделив обе части неравенства на 4, получаем $\frac{3\sqrt{3}}{4} > 1$. Это означает, что $a = -\frac{3\sqrt{3}}{4} < -1$, и, следовательно, аргумент не принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Таким образом, данное выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.