Номер 17.14, страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.14. При каких значениях параметра $a$ имеет смысл выражение:

1) $\arcsin(2 - a)$;

2) $\arcsin(2a - 3)$;

3) $\arcsin(a^2 - 3)$;

4) $\arccos(2a + 4)$;

5) $\arccos(2a - 7)$;

6) $\arccos(2a^2 - 5)$?

1) Выражение $\arcsin(2 - a)$ имеет смысл, когда его аргумент $2 - a$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Это приводит к двойному неравенству:

$-1 \le 2 - a \le 1$

Решим это неравенство. Вычтем $2$ из всех частей:

$-1 - 2 \le -a \le 1 - 2$

$-3 \le -a \le -1$

Умножим все части на $-1$ и изменим знаки неравенства на противоположные:

$3 \ge a \ge 1$

Что эквивалентно $1 \le a \le 3$.

Ответ: $[1; 3]$.

2) Аргумент функции арксинус должен находиться в пределах от $-1$ до $1$. Для выражения $\arcsin(2a - 3)$ получаем неравенство:

$-1 \le 2a - 3 \le 1$

Прибавим $3$ ко всем частям неравенства:

$-1 + 3 \le 2a \le 1 + 3$

$2 \le 2a \le 4$

Разделим все части на $2$:

$1 \le a \le 2$

Ответ: $[1; 2]$.

3) Выражение $\arcsin(a^2 - 3)$ имеет смысл, когда его аргумент $a^2 - 3$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$:

$-1 \le a^2 - 3 \le 1$

Прибавим $3$ ко всем частям:

$2 \le a^2 \le 4$

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} a^2 \ge 2 \\ a^2 \le 4 \end{cases}$

Решение первого неравенства $a^2 \ge 2$ есть $a \in (-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; +\infty)$.

Решение второго неравенства $a^2 \le 4$ есть $-2 \le a \le 2$, то есть $a \in [-2; 2]$.

Найдём пересечение этих двух множеств: $a \in ([-2; 2]) \cap ((-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; +\infty))$.

Ответ: $[-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2]$.

4) Областью определения функции $y = \arccos(x)$ является отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, для выражения $\arccos(2a + 4)$ должно выполняться условие:

$-1 \le 2a + 4 \le 1$

Вычтем $4$ из всех частей неравенства:

$-1 - 4 \le 2a \le 1 - 4$

$-5 \le 2a \le -3$

Разделим все части на $2$:

$-\frac{5}{2} \le a \le -\frac{3}{2}$

В виде десятичных дробей это $-2,5 \le a \le -1,5$.

Ответ: $[-2,5; -1,5]$.

5) Аргумент функции арккосинус должен находиться в пределах от $-1$ до $1$. Для выражения $\arccos(2a - 7)$ получаем неравенство:

$-1 \le 2a - 7 \le 1$

Прибавим $7$ ко всем частям:

$-1 + 7 \le 2a \le 1 + 7$

$6 \le 2a \le 8$

Разделим все части на $2$:

$3 \le a \le 4$

Ответ: $[3; 4]$.

6) Выражение $\arccos(2a^2 - 5)$ имеет смысл, когда его аргумент $2a^2 - 5$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$:

$-1 \le 2a^2 - 5 \le 1$

Прибавим $5$ ко всем частям:

$4 \le 2a^2 \le 6$

Разделим все части на $2$:

$2 \le a^2 \le 3$

Это двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} a^2 \ge 2 \\ a^2 \le 3 \end{cases}$

Решение первого неравенства $a^2 \ge 2$: $a \in (-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; +\infty)$.

Решение второго неравенства $a^2 \le 3$: $-\sqrt{3} \le a \le \sqrt{3}$, то есть $a \in [-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$.

Пересечение этих множеств $a \in ([-\sqrt{3}; \sqrt{3}]) \cap ((-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; +\infty))$ даёт итоговый результат.

Ответ: $[-\sqrt{3}; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; \sqrt{3}]$.