Номер 17.21, страница 137, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.21. Найдите значение выражения:

1) $\text{sin}(\text{arctg}\frac{1}{3}+\text{arctg}\frac{1}{4})$;

2) $\text{cos}(\text{arctg}2 - \text{arccos}\frac{1}{5})$;

3) $\text{tg}(\text{arcsin}0,2 + \text{arctg}4)$;

4) $\text{ctg}(\text{arccos}0,4 - \text{arcctg}5)$.

1) Для нахождения значения выражения $sin(\operatorname{arctg}\frac{1}{3} + \operatorname{arctg}\frac{1}{4})$ воспользуемся подходом через тангенс суммы. Пусть $\alpha = \operatorname{arctg}\frac{1}{3}$ и $\beta = \operatorname{arctg}\frac{1}{4}$. Тогда $\operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{3}$ и $\operatorname{tg}\beta = \frac{1}{4}$. Найдем тангенс суммы этих углов по формуле $\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$.$\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}} = \frac{\frac{4+3}{12}}{1 - \frac{1}{12}} = \frac{\frac{7}{12}}{\frac{11}{12}} = \frac{7}{11}$.Пусть $\gamma = \alpha + \beta$. Тогда $\operatorname{tg}\gamma = \frac{7}{11}$, и нам нужно найти $sin(\gamma)$.Так как $\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$ и $\beta \in (0, \frac{\pi}{2})$, то $\gamma \in (0, \pi)$. Поскольку $\operatorname{tg}\gamma > 0$, угол $\gamma$ находится в первой четверти.Зная тангенс, найдем синус по формуле $sin\gamma = \frac{\operatorname{tg}\gamma}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^2\gamma}}$ (знак плюс, так как $\gamma$ в первой четверти).$sin(\gamma) = \frac{\frac{7}{11}}{\sqrt{1 + (\frac{7}{11})^2}} = \frac{\frac{7}{11}}{\sqrt{1 + \frac{49}{121}}} = \frac{\frac{7}{11}}{\sqrt{\frac{121+49}{121}}} = \frac{\frac{7}{11}}{\frac{\sqrt{170}}{11}} = \frac{7}{\sqrt{170}} = \frac{7\sqrt{170}}{170}$.

Ответ: $\frac{7\sqrt{170}}{170}$.

2) Найдем значение выражения $cos(\operatorname{arctg}2 - \arccos\frac{1}{5})$.Пусть $\alpha = \operatorname{arctg}2$ и $\beta = \arccos\frac{1}{5}$.Воспользуемся формулой косинуса разности: $cos(\alpha - \beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$.Из $\alpha = \operatorname{arctg}2$ следует, что $\operatorname{tg}\alpha = 2$ и угол $\alpha$ находится в первой четверти $(0, \frac{\pi}{2})$.Найдем $cos\alpha$ и $sin\alpha$:$cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^2\alpha}} = \frac{1}{\sqrt{1+2^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.$sin\alpha = \frac{\operatorname{tg}\alpha}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^2\alpha}} = \frac{2}{\sqrt{1+2^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.Из $\beta = \arccos\frac{1}{5}$ следует, что $cos\beta = \frac{1}{5}$ и угол $\beta$ находится в первой четверти $[0, \frac{\pi}{2}]$.Найдем $sin\beta$: $sin\beta = \sqrt{1-cos^2\beta} = \sqrt{1 - (\frac{1}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$.Подставим найденные значения в формулу:$cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{5} + \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} = \frac{1}{5\sqrt{5}} + \frac{4\sqrt{6}}{5\sqrt{5}} = \frac{1+4\sqrt{6}}{5\sqrt{5}}$.Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: $\frac{(1+4\sqrt{6})\sqrt{5}}{5\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}+4\sqrt{30}}{25}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{5}+4\sqrt{30}}{25}$.

3) Найдем значение выражения $\operatorname{tg}(\arcsin0,2 + \operatorname{arctg}4)$.Пусть $\alpha = \arcsin0,2 = \arcsin\frac{1}{5}$ и $\beta = \operatorname{arctg}4$.Воспользуемся формулой тангенса суммы: $\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$.Из $\alpha = \arcsin\frac{1}{5}$ следует, что $sin\alpha = \frac{1}{5}$ и угол $\alpha$ находится в первой четверти. Найдем $cos\alpha = \sqrt{1-sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{5})^2} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$.Тогда $\operatorname{tg}\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{1/5}{2\sqrt{6}/5} = \frac{1}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{12}$.Из $\beta = \operatorname{arctg}4$ следует, что $\operatorname{tg}\beta = 4$.Подставим значения в формулу:$\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\frac{\sqrt{6}}{12} + 4}{1 - \frac{\sqrt{6}}{12} \cdot 4} = \frac{\frac{\sqrt{6}+48}{12}}{1 - \frac{4\sqrt{6}}{12}} = \frac{\frac{\sqrt{6}+48}{12}}{\frac{12-4\sqrt{6}}{12}} = \frac{\sqrt{6}+48}{12-4\sqrt{6}} = \frac{48+\sqrt{6}}{4(3-\sqrt{6})}$.Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(3+\sqrt{6})$:$\frac{(48+\sqrt{6})(3+\sqrt{6})}{4(3-\sqrt{6})(3+\sqrt{6})} = \frac{48 \cdot 3 + 48\sqrt{6} + 3\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2}{4(3^2 - (\sqrt{6})^2)} = \frac{144 + 51\sqrt{6} + 6}{4(9-6)} = \frac{150 + 51\sqrt{6}}{4 \cdot 3} = \frac{150 + 51\sqrt{6}}{12}$.Разделим числитель и знаменатель на 3: $\frac{50 + 17\sqrt{6}}{4}$.

Ответ: $\frac{50 + 17\sqrt{6}}{4}$.

4) Найдем значение выражения $\operatorname{ctg}(\arccos0,4 - \operatorname{arcctg}5)$.Пусть $\alpha = \arccos0,4 = \arccos\frac{2}{5}$ и $\beta = \operatorname{arcctg}5$.Воспользуемся формулой котангенса разности: $\operatorname{ctg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{ctg}\alpha \operatorname{ctg}\beta + 1}{\operatorname{ctg}\beta - \operatorname{ctg}\alpha}$.Из $\alpha = \arccos\frac{2}{5}$ следует, что $cos\alpha = \frac{2}{5}$ и угол $\alpha$ находится в первой четверти. Найдем $sin\alpha = \sqrt{1-cos^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{2}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$.Тогда $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha} = \frac{2/5}{\sqrt{21}/5} = \frac{2}{\sqrt{21}}$.Из $\beta = \operatorname{arcctg}5$ следует, что $\operatorname{ctg}\beta = 5$.Подставим значения в формулу:$\operatorname{ctg}(\alpha - \beta) = \frac{\frac{2}{\sqrt{21}} \cdot 5 + 1}{5 - \frac{2}{\sqrt{21}}} = \frac{\frac{10}{\sqrt{21}} + 1}{5 - \frac{2}{\sqrt{21}}}$.Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{21}$: $\frac{10 + \sqrt{21}}{5\sqrt{21} - 2}$.Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(5\sqrt{21} + 2)$:$\frac{(10 + \sqrt{21})(5\sqrt{21} + 2)}{(5\sqrt{21} - 2)(5\sqrt{21} + 2)} = \frac{10 \cdot 5\sqrt{21} + 10 \cdot 2 + \sqrt{21} \cdot 5\sqrt{21} + \sqrt{21} \cdot 2}{(5\sqrt{21})^2 - 2^2} = \frac{50\sqrt{21} + 20 + 5 \cdot 21 + 2\sqrt{21}}{25 \cdot 21 - 4} = \frac{52\sqrt{21} + 20 + 105}{525 - 4} = \frac{125 + 52\sqrt{21}}{521}$.

Ответ: $\frac{125 + 52\sqrt{21}}{521}$.