Объясните, страница 139, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Используя формулы $tgactga = 1$, $sin^2\alpha = \frac{1}{ctg^2\alpha + 1}$, $cos^2\alpha = \frac{1}{tg^2\alpha + 1}$, $sin^2\alpha = \frac{tg^2\alpha}{tg^2\alpha + 1}$, $cos^2\alpha = \frac{ctg^2\alpha}{ctg^2\alpha + 1}$, как получили, соответственно, следующие равносильные уравнения:

$arctg f(x) = arcctgg(x) \iff f(x) g(x) = 1$;

$arcsin f(x) = arcctg g(x) \iff f^2(x) = \frac{1}{g^2(x) + 1}$;

$arctg f(x) = arccos g(x) \iff \frac{1}{f^2(x) + 1} = g^2(x)$;

$arcsin f(x) = arctg g(x) \iff f^2(x) = \frac{g^2(x)}{g^2(x) + 1}$;

$arccos f(x) = arcctg g(x) \iff f^2(x) = \frac{g^2(x)}{g^2(x) + 1} ?$

Все представленные равносильные уравнения получаются путем введения общего угла $ \alpha $ для левой и правой частей исходного равенства и последующего использования указанных тригонометрических тождеств. Общий принцип следующий:

1. Вводится угол $ \alpha $, равный значению аркфункций: например, $ \alpha = \operatorname{arctg} f(x) = \operatorname{arcctg} g(x) $.

2. Из этого равенства выражаются $ f(x) $ и $ g(x) $ через тригонометрические функции угла $ \alpha $: например, $ f(x) = \operatorname{tg} \alpha $, $ g(x) = \operatorname{ctg} \alpha $.

3. Эти выражения подставляются в одно из предложенных в условии тригонометрических тождеств, что и доказывает равносильность.

Рассмотрим каждое уравнение подробно.

$ \operatorname{arctg} f(x) = \operatorname{arcctg} g(x) \Leftrightarrow f(x)g(x) = 1 $

Пусть $ \alpha = \operatorname{arctg} f(x) = \operatorname{arcctg} g(x) $. Исходя из определения арктангенса и арккотангенса, получаем: $ f(x) = \operatorname{tg} \alpha $ $ g(x) = \operatorname{ctg} \alpha $ Теперь воспользуемся исходной формулой $ \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1 $. Подставим в нее полученные выражения для $ f(x) $ и $ g(x) $: $ f(x) \cdot g(x) = 1 $ Стоит отметить, что равенство $ \operatorname{arctg} z = \operatorname{arcctg} w $ возможно только для $ \alpha \in (0, \pi/2) $, так как область значений арктангенса $ (-\pi/2, \pi/2) $, а арккотангенса $ (0, \pi) $. В этом интервале $ \operatorname{tg} \alpha > 0 $ и $ \operatorname{ctg} \alpha > 0 $, так что $ f(x) > 0 $ и $ g(x) > 0 $.

Ответ: $ f(x) g(x) = 1 $

$ \operatorname{arcsin} f(x) = \operatorname{arcctg} g(x) \Leftrightarrow f^2(x) = \frac{1}{g^2(x) + 1} $

Пусть $ \alpha = \operatorname{arcsin} f(x) = \operatorname{arcctg} g(x) $. Из определения арксинуса и арккотангенса следует: $ f(x) = \sin \alpha \implies f^2(x) = \sin^2 \alpha $ $ g(x) = \operatorname{ctg} \alpha \implies g^2(x) = \operatorname{ctg}^2 \alpha $ Используем тригонометрическое тождество из условия: $ \sin^2 \alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg}^2 \alpha + 1} $. Подставляем в него выражения для $ f^2(x) $ и $ g^2(x) $: $ f^2(x) = \frac{1}{g^2(x) + 1} $

Ответ: $ f^2(x) = \frac{1}{g^2(x) + 1} $

$ \operatorname{arctg} f(x) = \operatorname{arccos} g(x) \Leftrightarrow \frac{1}{f^2(x) + 1} = g^2(x) $

Пусть $ \alpha = \operatorname{arctg} f(x) = \operatorname{arccos} g(x) $. Из определений арктангенса и арккосинуса имеем: $ f(x) = \operatorname{tg} \alpha \implies f^2(x) = \operatorname{tg}^2 \alpha $ $ g(x) = \cos \alpha \implies g^2(x) = \cos^2 \alpha $ Возьмем тождество из условия: $ \cos^2 \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}^2 \alpha + 1} $. Подставив наши выражения, получим: $ g^2(x) = \frac{1}{f^2(x) + 1} $

Ответ: $ \frac{1}{f^2(x) + 1} = g^2(x) $

$ \operatorname{arcsin} f(x) = \operatorname{arctg} g(x) \Leftrightarrow f^2(x) = \frac{g^2(x)}{g^2(x) + 1} $

Пусть $ \alpha = \operatorname{arcsin} f(x) = \operatorname{arctg} g(x) $. Тогда: $ f(x) = \sin \alpha \implies f^2(x) = \sin^2 \alpha $ $ g(x) = \operatorname{tg} \alpha \implies g^2(x) = \operatorname{tg}^2 \alpha $ Используем формулу из условия: $ \sin^2 \alpha = \frac{\operatorname{tg}^2 \alpha}{\operatorname{tg}^2 \alpha + 1} $. Производим замену: $ f^2(x) = \frac{g^2(x)}{g^2(x) + 1} $

Ответ: $ f^2(x) = \frac{g^2(x)}{g^2(x) + 1} $

$ \operatorname{arccos} f(x) = \operatorname{arcctg} g(x) \Leftrightarrow f^2(x) = \frac{g^2(x)}{g^2(x) + 1} $

Пусть $ \alpha = \operatorname{arccos} f(x) = \operatorname{arcctg} g(x) $. Тогда: $ f(x) = \cos \alpha \implies f^2(x) = \cos^2 \alpha $ $ g(x) = \operatorname{ctg} \alpha \implies g^2(x) = \operatorname{ctg}^2 \alpha $ Используем соответствующее тождество из условия: $ \cos^2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha}{\operatorname{ctg}^2 \alpha + 1} $. Подставляем выражения для $ f^2(x) $ и $ g^2(x) $: $ f^2(x) = \frac{g^2(x)}{g^2(x) + 1} $

Ответ: $ f^2(x) = \frac{g^2(x)}{g^2(x) + 1} $