Вопросы, страница 140, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Почему надо учитывать множество допустимых значений переменной в уравнениях, содержащих обратные тригонометрические функции?

2. Обязательно ли проверять полученное значение корня методом подстановки в уравнение?

1. Почему надо учитывать множество допустимых значений переменной в уравнениях, содержащих обратные тригонометрические функции?

Учитывать множество допустимых значений (МДЗ) переменной в уравнениях с обратными тригонометрическими функциями необходимо из-за самой природы этих функций. Обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс) имеют строгие ограничения на свои аргументы (область определения) и на свои значения (область значений).

Рассмотрим основные ограничения:

1. Область определения (ограничения на аргумент):

• Функции $y = \arcsin(x)$ и $y = \arccos(x)$ определены только для аргументов $x$, принадлежащих отрезку $[-1, 1]$. Это связано с тем, что синус и косинус любого угла не могут по модулю превышать 1. Поэтому, если в уравнении есть выражение вида $\arcsin(f(x))$ или $\arccos(f(x))$, мы должны потребовать выполнения условия $-1 \le f(x) \le 1$.
• Функции $y = \arctan(x)$ и $y = \arccot(x)$ определены для любых действительных значений $x$, поэтому на их аргументы ограничений нет.

2. Область значений (ограничения на результат функции):

• $\arcsin(x)$ возвращает значения в диапазоне $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
• $\arccos(x)$ возвращает значения в диапазоне $[0, \pi]$.
• $\arctan(x)$ возвращает значения в диапазоне $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
• $\arccot(x)$ возвращает значения в диапазоне $(0, \pi)$.

При решении уравнений мы часто выполняем преобразования (например, берем синус или косинус от обеих частей), которые могут быть неэквивалентными, то есть могут приводить к появлению посторонних корней. Учет МДЗ позволяет отсеять такие корни еще на начальном этапе или в процессе решения. Если найденный корень не входит в МДЗ, он не является решением исходного уравнения, так как при его подстановке одна из функций в уравнении просто не будет определена.

Например, в уравнении $\arcsin(2x-5) = \frac{\pi}{6}$ сначала нужно найти МДЗ: $-1 \le 2x-5 \le 1$. Решая это двойное неравенство, получаем $4 \le 2x \le 6$, или $2 \le x \le 3$. Если в ходе решения мы получим корень, не принадлежащий этому отрезку, мы должны его отбросить.

Ответ: Учет множества допустимых значений необходим, поскольку обратные тригонометрические функции имеют ограниченные области определения и значений. Это позволяет гарантировать, что все выражения в уравнении имеют смысл, и отсеивать посторонние корни, которые могут появиться в результате преобразований.

2. Обязательно ли проверять полученное значение корня методом подстановки в уравнение?

Проверка полученного корня методом подстановки является очень важным, а часто и обязательным этапом решения уравнений, особенно содержащих обратные тригонометрические функции. Это связано с тем, что в процессе решения могут применяться неэквивалентные (неравносильные) преобразования, которые приводят к появлению посторонних корней.

Примеры таких преобразований:

• Возведение обеих частей уравнения в квадрат. Уравнение $A=B$ является следствием уравнения $A^2=B^2$, но не наоборот. Возведение в квадрат может добавить корни, так как из $A^2=B^2$ следует $A=B$ или $A=-B$.
• Применение тригонометрической функции к обеим частям уравнения. Например, из уравнения $\arccos(x) = \alpha$ следует $x = \cos(\alpha)$. Однако, если $\alpha$ не принадлежит области значений арккосинуса (то есть отрезку $[0, \pi]$), то исходное уравнение не имеет решений, в то время как преобразованное уравнение $x = \cos(\alpha)$ решение имеет. Например, уравнение $\arccos(x) = - \frac{\pi}{4}$ не имеет решений. Но если мы возьмем косинус от обеих частей, получим $x = \cos(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подстановка этого значения в исходное уравнение дает $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4} \ne -\frac{\pi}{4}$. Значит, $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ — посторонний корень.

Есть два основных подхода к отсеву посторонних корней:

1. Нахождение МДЗ. Найти все ограничения на переменную $x$ в самом начале, решить уравнение и затем проверить, принадлежат ли найденные корни МДЗ. Этот метод хорош, но нахождение МДЗ само по себе может быть сложной задачей.

2. Проверка подстановкой. Решить уравнение без предварительного нахождения МДЗ, а затем подставить каждый полученный "кандидат" в корни в исходное уравнение и проверить, выполняется ли равенство.

Иногда эти методы комбинируют. Проверка подстановкой является универсальным и самым надежным способом убедиться, что найденное число действительно является корнем уравнения.

Если при решении вы использовали только равносильные преобразования и уверены в этом на 100%, то проверка не является формально обязательной (кроме как для самоконтроля на предмет арифметических ошибок). Однако доказать равносильность всех шагов бывает непросто. Поэтому проверка подстановкой — это практически обязательный стандарт для надежного решения.

Ответ: Да, проверять полученное значение корня методом подстановки настоятельно рекомендуется и часто является обязательным. Это самый надежный способ отсеять посторонние корни, которые могли появиться из-за использования неэквивалентных преобразований в процессе решения уравнения.