Номер 18.3, страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.3.1)

$\operatorname{arctg}4x = \frac{\pi}{4}$;

2)

$\operatorname{arctg}3x = -\frac{\pi}{3}$;

3)

$\operatorname{arcctg}2x = \frac{\pi}{6}$;

4)

$\operatorname{arcctg}3x = \frac{\pi}{2}$.

1) Дано уравнение $arctg4x = \frac{\pi}{4}$.

По определению арктангенса, если $arctg(a) = b$, то $tg(b) = a$, при условии, что $b \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Значение $\frac{\pi}{4}$ принадлежит этому интервалу, поэтому мы можем взять тангенс от обеих частей уравнения.

$tg(arctg4x) = tg(\frac{\pi}{4})$

$4x = tg(\frac{\pi}{4})$

Так как $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:

$4x = 1$

$x = \frac{1}{4}$

Ответ: $x = \frac{1}{4}$.

2) Дано уравнение $arctg3x = -\frac{\pi}{3}$.

По определению арктангенса, если $arctg(a) = b$, то $tg(b) = a$, при условии, что $b \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Значение $-\frac{\pi}{3}$ принадлежит этому интервалу. Возьмем тангенс от обеих частей:

$tg(arctg3x) = tg(-\frac{\pi}{3})$

$3x = tg(-\frac{\pi}{3})$

Так как тангенс — нечетная функция, $tg(-a) = -tg(a)$. Следовательно, $tg(-\frac{\pi}{3}) = -tg(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.

$3x = -\sqrt{3}$

$x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

3) Дано уравнение $arcctg2x = \frac{\pi}{6}$.

По определению арккотангенса, если $arcctg(a) = b$, то $ctg(b) = a$, при условии, что $b \in (0; \pi)$.

Значение $\frac{\pi}{6}$ принадлежит этому интервалу, поэтому мы можем взять котангенс от обеих частей уравнения.

$ctg(arcctg2x) = ctg(\frac{\pi}{6})$

$2x = ctg(\frac{\pi}{6})$

Так как $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$, получаем:

$2x = \sqrt{3}$

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

4) Дано уравнение $arcctg3x = \frac{\pi}{2}$.

По определению арккотангенса, если $arcctg(a) = b$, то $ctg(b) = a$, при условии, что $b \in (0; \pi)$.

Значение $\frac{\pi}{2}$ принадлежит этому интервалу. Возьмем котангенс от обеих частей:

$ctg(arcctg3x) = ctg(\frac{\pi}{2})$

$3x = ctg(\frac{\pi}{2})$

Так как $ctg(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем:

$3x = 0$

$x = 0$

Ответ: $x = 0$.