Номер 18.4, страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.4. 1) $ \arccos(3x - 3,5) = \frac{2\pi}{3}; $

2) $ \arcsin(x - 2) = -\frac{\pi}{4}; $

3) $ \arccos(4 - x) = \frac{\pi}{2}; $

4) $ \arcsin(2x + 1) = \frac{\pi}{3}. $

1) Решим уравнение $arccos(3x - 3,5) = \frac{2\pi}{3}$.

По определению арккосинуса, если $arccos(a) = y$, то $cos(y) = a$, при этом должно выполняться условие $-1 \le a \le 1$ и $0 \le y \le \pi$.

В данном уравнении $y = \frac{2\pi}{3}$ находится в промежутке $[0, \pi]$, поэтому решение существует.

Применим определение к нашему уравнению:

$3x - 3,5 = cos(\frac{2\pi}{3})$

Вычислим значение косинуса:

$cos(\frac{2\pi}{3}) = cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} = -0,5$

Подставим это значение в уравнение:

$3x - 3,5 = -0,5$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$3x = 3,5 - 0,5$

$3x = 3$

$x = 1$

Проверим, выполняется ли условие для аргумента арккосинуса. При $x=1$ выражение $3x - 3,5$ равно $3(1) - 3,5 = -0,5$.

Поскольку $-1 \le -0,5 \le 1$, условие выполнено.

Ответ: $1$.

2) Решим уравнение $arcsin(x - 2) = -\frac{\pi}{4}$.

По определению арксинуса, если $arcsin(a) = y$, то $sin(y) = a$, при этом должно выполняться условие $-1 \le a \le 1$ и $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$.

В данном уравнении $y = -\frac{\pi}{4}$ находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, поэтому решение существует.

Применим определение к нашему уравнению:

$x - 2 = sin(-\frac{\pi}{4})$

Вычислим значение синуса:

$sin(-\frac{\pi}{4}) = -sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим это значение в уравнение:

$x - 2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Выразим $x$:

$x = 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Проверим, выполняется ли условие для аргумента арксинуса. Аргумент $x-2$ равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Поскольку $1 < \sqrt{2} < 2$, то $\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$, следовательно $-1 < -\frac{\sqrt{2}}{2} < -\frac{1}{2}$.

Условие $-1 \le -\frac{\sqrt{2}}{2} \le 1$ выполнено.

Ответ: $2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3) Решим уравнение $arccos(4 - x) = \frac{\pi}{2}$.

По определению арккосинуса, если $arccos(a) = y$, то $cos(y) = a$, при этом $-1 \le a \le 1$.

Применим это определение:

$4 - x = cos(\frac{\pi}{2})$

Значение косинуса равно:

$cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

Подставим значение в уравнение:

$4 - x = 0$

Отсюда находим $x$:

$x = 4$

Проверим условие для аргумента арккосинуса. При $x=4$ выражение $4 - x$ равно $4 - 4 = 0$.

Поскольку $-1 \le 0 \le 1$, условие выполнено.

Ответ: $4$.

4) Решим уравнение $arcsin(2x + 1) = \frac{\pi}{3}$.

По определению арксинуса, если $arcsin(a) = y$, то $sin(y) = a$, при этом $-1 \le a \le 1$.

Применим это определение:

$2x + 1 = sin(\frac{\pi}{3})$

Значение синуса равно:

$sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим значение в уравнение:

$2x + 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$2x = \frac{\sqrt{3}}{2} - 1$

$2x = \frac{\sqrt{3} - 2}{2}$

$x = \frac{\sqrt{3} - 2}{4}$

Проверим условие для аргумента арксинуса. Аргумент $2x+1$ равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку $1 < \sqrt{3} < 2$, то $\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2} < 1$.

Условие $-1 \le \frac{\sqrt{3}}{2} \le 1$ выполнено.

Ответ: $\frac{\sqrt{3} - 2}{4}$.