Номер 18.9, страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.9.Решите уравнение:

1) $18\text{arctg}^2x - 3\pi\text{arctg}x - \pi^2 = 0;$

2) $16\text{arcctg}^2x - 16\pi\text{arcctg}x + 3\pi^2 = 0;$

3) $\text{arctg}(x^2 - 9) = \text{arctg}8x;$

4) $\text{arcctg}(x^2 - x) = \text{arcctg}(4x - 6).$

1) $18\text{arctg}^2x - 3\pi\text{arctg}x - \pi^2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\text{arctg}x$. Сделаем замену переменной: пусть $y = \text{arctg}x$. Тогда уравнение примет вид:

$18y^2 - 3\pi y - \pi^2 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3\pi)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-\pi^2) = 9\pi^2 + 72\pi^2 = 81\pi^2$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3\pi + \sqrt{81\pi^2}}{2 \cdot 18} = \frac{3\pi + 9\pi}{36} = \frac{12\pi}{36} = \frac{\pi}{3}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3\pi - 9\pi}{2 \cdot 18} = \frac{-6\pi}{36} = -\frac{\pi}{6}$

Область значений функции арктангенс: $E(\text{arctg}x) = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Оба найденных значения, $\frac{\pi}{3}$ и $-\frac{\pi}{6}$, принадлежат этому интервалу. Следовательно, оба решения подходят.

Вернемся к исходной переменной $x$:

1. $\text{arctg}x = \frac{\pi}{3} \implies x = \text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$

2. $\text{arctg}x = -\frac{\pi}{6} \implies x = \text{tg}(-\frac{\pi}{6}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $x_1 = \sqrt{3}, x_2 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

2) $16\text{arcctg}^2x - 16\pi\text{arcctg}x + 3\pi^2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\text{arcctg}x$. Сделаем замену переменной: пусть $z = \text{arcctg}x$. Уравнение примет вид:

$16z^2 - 16\pi z + 3\pi^2 = 0$

Решим это квадратное уравнение:

$D = (-16\pi)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (3\pi^2) = 256\pi^2 - 192\pi^2 = 64\pi^2$

Найдем корни для $z$:

$z_1 = \frac{16\pi + \sqrt{64\pi^2}}{2 \cdot 16} = \frac{16\pi + 8\pi}{32} = \frac{24\pi}{32} = \frac{3\pi}{4}$

$z_2 = \frac{16\pi - \sqrt{64\pi^2}}{2 \cdot 16} = \frac{16\pi - 8\pi}{32} = \frac{8\pi}{32} = \frac{\pi}{4}$

Область значений функции арккотангенс: $E(\text{arcctg}x) = (0; \pi)$. Оба найденных значения, $\frac{3\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{4}$, принадлежат этому интервалу.

Вернемся к исходной переменной $x$:

1. $\text{arcctg}x = \frac{3\pi}{4} \implies x = \text{ctg}(\frac{3\pi}{4}) = -1$

2. $\text{arcctg}x = \frac{\pi}{4} \implies x = \text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 1$.

3) $\text{arctg}(x^2 - 9) = \text{arctg}(8x)$

Функция $y = \text{arctg}(u)$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Поэтому, если арктангенсы двух выражений равны, то равны и сами выражения. Область определения арктангенса - все действительные числа, поэтому дополнительных ограничений на $x$ нет.

$x^2 - 9 = 8x$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 - 8x - 9 = 0$

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 8$

$x_1 \cdot x_2 = -9$

Подбором находим корни: $x_1 = 9$ и $x_2 = -1$.

Ответ: $x_1 = 9, x_2 = -1$.

4) $\text{arcctg}(x^2 - x) = \text{arcctg}(4x - 6)$

Функция $y = \text{arcctg}(u)$ является монотонно убывающей на всей числовой оси. Если арккотангенсы двух выражений равны, то равны и сами выражения. Область определения арккотангенса - все действительные числа, поэтому ограничений на $x$ нет.

$x^2 - x = 4x - 6$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - x - 4x + 6 = 0$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 5$

$x_1 \cdot x_2 = 6$

Подбором находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = 3$.