Номер 18.12, страница 142, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.12. Решите уравнение (18.12–18.13):

1) $\arccos x = \text{arctg } x$;

2) $\text{arcctg } x = \text{arctg } x$;

3) $\arccos x = \arcsin x$;

4) $\text{arcctg } x = \arcsin x$.

1) arccos x = arctg x

Пусть $y = \arccos x = \arctg x$. Найдем области определения и значений для левой и правой частей уравнения.

Для $y = \arccos x$: область определения $x \in [-1, 1]$, область значений $y \in [0, \pi]$.

Для $y = \arctg x$: область определения $x \in (-\infty, +\infty)$, область значений $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Для того чтобы равенство было возможным, $x$ должен принадлежать пересечению областей определения, то есть $x \in [-1, 1]$. А $y$ должен принадлежать пересечению областей значений, то есть $y \in [0, \frac{\pi}{2})$.

Из равенства $y = \arccos x$ следует, что $\cos y = x$. Из равенства $y = \arctg x$ следует, что $\tg y = x$. Приравнивая выражения для $x$, получаем тригонометрическое уравнение: $\cos y = \tg y$.

Решим это уравнение для $y \in [0, \frac{\pi}{2})$:

$\cos y = \frac{\sin y}{\cos y}$

$\cos^2 y = \sin y$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y$, получаем:

$1 - \sin^2 y = \sin y$

$\sin^2 y + \sin y - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \sin y$. Так как $y \in [0, \frac{\pi}{2})$, то $t \in [0, 1)$. Получаем квадратное уравнение: $t^2 + t - 1 = 0$.

Решаем его: $t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Получаем два корня: $t_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ и $t_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$. Корень $t_2$ является отрицательным, что не удовлетворяет условию $t \in [0, 1)$. Корень $t_1 = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ удовлетворяет условию, так как $0 < \frac{\sqrt{5}-1}{2} < 1$. Итак, $\sin y = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

Теперь найдем $x$. Мы знаем, что $x = \cos y$. Из уравнения $\cos^2 y = \sin y$ следует, что $x^2 = \sin y$.

$x^2 = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

Отсюда $x = \pm\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$.

Поскольку $y \in [0, \frac{\pi}{2})$, то $x = \cos y > 0$. Следовательно, отрицательный корень не подходит.

Единственное решение: $x = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$.

Ответ: $x = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$.

2) arcctg x = arctg x

Воспользуемся тождеством $\arctg x + \arcctg x = \frac{\pi}{2}$. Подставим $\arcctg x$ из исходного уравнения в тождество:

$\arctg x + \arctg x = \frac{\pi}{2}$

$2\arctg x = \frac{\pi}{2}$

$\arctg x = \frac{\pi}{4}$

Отсюда находим $x$:

$x = \tg(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Проверка: $\arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$ и $\arctg(1) = \frac{\pi}{4}$. Равенство выполняется.

Ответ: $x = 1$.

3) arccos x = arcsin x

Воспользуемся тождеством $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$. Подставим $\arccos x$ из исходного уравнения в тождество:

$\arcsin x + \arcsin x = \frac{\pi}{2}$

$2\arcsin x = \frac{\pi}{2}$

$\arcsin x = \frac{\pi}{4}$

Отсюда находим $x$:

$x = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Проверка: $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$ и $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$. Равенство выполняется.

Ответ: $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

4) arcctg x = arcsin x

Пусть $y = \arcctg x = \arcsin x$. Найдем области определения и значений для левой и правой частей уравнения.

Для $y = \arcctg x$: область определения $x \in (-\infty, +\infty)$, область значений $y \in (0, \pi)$.

Для $y = \arcsin x$: область определения $x \in [-1, 1]$, область значений $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Для того чтобы равенство было возможным, $x$ должен принадлежать пересечению областей определения, то есть $x \in [-1, 1]$. А $y$ должен принадлежать пересечению областей значений, то есть $y \in (0, \frac{\pi}{2}]$.

Из равенства $y = \arcctg x$ следует, что $\ctg y = x$. Из равенства $y = \arcsin x$ следует, что $\sin y = x$. Приравнивая выражения для $x$, получаем тригонометрическое уравнение: $\ctg y = \sin y$.

Решим это уравнение для $y \in (0, \frac{\pi}{2}]$:

$\frac{\cos y}{\sin y} = \sin y$

$\cos y = \sin^2 y$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 y = 1 - \cos^2 y$, получаем:

$\cos y = 1 - \cos^2 y$

$\cos^2 y + \cos y - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos y$. Так как $y \in (0, \frac{\pi}{2}]$, то $t \in [0, 1)$. Получаем квадратное уравнение: $t^2 + t - 1 = 0$.

Решаем его: $t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Получаем два корня: $t_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ и $t_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$. Корень $t_2$ является отрицательным, что не удовлетворяет условию $t \in [0, 1)$. Корень $t_1 = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ удовлетворяет условию. Итак, $\cos y = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

Теперь найдем $x$. Мы знаем, что $x = \sin y$. Из уравнения $\cos y = \sin^2 y$ следует, что $\cos y = x^2$.

$x^2 = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

Отсюда $x = \pm\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$.

Поскольку $y \in (0, \frac{\pi}{2}]$, то $x = \sin y > 0$. Следовательно, отрицательный корень не подходит.

Единственное решение: $x = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$.

Ответ: $x = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$.