Номер 18.13, страница 142, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.13. 1) $\arccos\frac{x\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{2} - \arcsin x;$

2) $\arcsin(2x) - 3\arcsin x = 0.$

1) $\arccos\frac{x\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{2} - \arcsin{x}$

Воспользуемся известным тригонометрическим тождеством: $\arcsin{y} + \arccos{y} = \frac{\pi}{2}$. Из этого тождества следует, что $\arccos{y} = \frac{\pi}{2} - \arcsin{y}$.

Заменим правую часть исходного уравнения, используя это тождество для $y=x$:

$\arccos\frac{x\sqrt{3}}{3} = \arccos{x}$

Функция $\arccos$ является монотонной, поэтому равенство справедливо только в том случае, если ее аргументы равны:

$\frac{x\sqrt{3}}{3} = x$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное уравнение:

$\frac{x\sqrt{3}}{3} - x = 0$

$x\left(\frac{\sqrt{3}}{3} - 1\right) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Так как $\left(\frac{\sqrt{3}}{3} - 1\right) \neq 0$, то единственным решением является $x = 0$.

Проверим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы функций $\arccos$ и $\arcsin$ должны принадлежать отрезку $[-1, 1]$.

Для $\arcsin{x}$: $-1 \le x \le 1$.

Для $\arccos\frac{x\sqrt{3}}{3}$: $-1 \le \frac{x\sqrt{3}}{3} \le 1$, что равносильно $-\frac{3}{\sqrt{3}} \le x \le \frac{3}{\sqrt{3}}$, или $-\sqrt{3} \le x \le \sqrt{3}$.

Общая ОДЗ является пересечением этих условий: $x \in [-1, 1]$.

Найденный корень $x=0$ принадлежит ОДЗ. Подставим его в исходное уравнение для проверки:

Левая часть: $\arccos\left(\frac{0\cdot\sqrt{3}}{3}\right) = \arccos(0) = \frac{\pi}{2}$.

Правая часть: $\frac{\pi}{2} - \arcsin(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$.

Равенство $\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ выполняется, значит, корень найден верно.

Ответ: $0$.

2) $\arcsin{2x} - 3\arcsin{x} = 0$

Перепишем уравнение в виде:

$\arcsin{2x} = 3\arcsin{x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы арксинусов должны лежать в отрезке $[-1, 1]$.

1. Для $\arcsin{x}$: $-1 \le x \le 1$.

2. Для $\arcsin{2x}$: $-1 \le 2x \le 1 \implies -\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$.

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

Сделаем замену: пусть $\alpha = \arcsin{x}$. Тогда $x = \sin\alpha$. Уравнение примет вид:

$\arcsin(2\sin\alpha) = 3\alpha$

Область значений функции $\arcsin$ — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Следовательно, правая часть уравнения $3\alpha$ должна удовлетворять этому условию:

$-\frac{\pi}{2} \le 3\alpha \le \frac{\pi}{2} \implies -\frac{\pi}{6} \le \alpha \le \frac{\pi}{6}$

Возьмем синус от обеих частей уравнения $\arcsin(2\sin\alpha) = 3\alpha$:

$\sin(\arcsin(2\sin\alpha)) = \sin(3\alpha)$

$2\sin\alpha = \sin(3\alpha)$

Применим формулу синуса тройного угла $\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$:

$2\sin\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$

$4\sin^3\alpha - \sin\alpha = 0$

$\sin\alpha(4\sin^2\alpha - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $\sin\alpha = 0$. Так как $x = \sin\alpha$, то $x = 0$.

2. $4\sin^2\alpha - 1 = 0 \implies \sin^2\alpha = \frac{1}{4} \implies \sin\alpha = \pm\frac{1}{2}$. Следовательно, $x = \pm\frac{1}{2}$.

Мы получили три потенциальных корня: $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{1}{2}$, $x_3 = -\frac{1}{2}$.

Все три корня принадлежат найденной ранее ОДЗ: $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

Проверим также выполнение условия $-\frac{\pi}{6} \le \alpha \le \frac{\pi}{6}$, то есть $-\frac{\pi}{6} \le \arcsin{x} \le \frac{\pi}{6}$.

Для $x=0$: $\arcsin(0) = 0$. Условие $0 \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$ выполняется.

Для $x=\frac{1}{2}$: $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$. Условие $\frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$ выполняется.

Для $x=-\frac{1}{2}$: $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$. Условие $-\frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$ выполняется.

Все три корня удовлетворяют всем условиям.

Ответ: $0, \pm\frac{1}{2}$.