Номер 18.18, страница 142, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.18. Найдите:

1) $ \sin 2\alpha $, $ \cos 2\alpha $, если $ \sin \alpha = 0,4 $ и $ 90^\circ < \alpha < 180^\circ $;

2) $ \operatorname{ctg} \alpha $, $ \operatorname{tg} 2\alpha $, если $ \cos \alpha = -0,6 $ и $ 180^\circ < \alpha < 270^\circ $;

3) $ \cos \alpha $, $ \sin \alpha $, если $ \operatorname{tg} \alpha = \sqrt{8} $ и $ 180^\circ < \alpha < 270^\circ $.

1) $sin(2a)$, $cos(2a)$, если $sin(a) = 0,4$ и $90° < a < 180°$;

Поскольку угол $a$ находится во второй четверти ($90° < a < 180°$), его синус положителен, а косинус отрицателен.

1. Найдем $cos(a)$ с помощью основного тригонометрического тождества $sin^2(a) + cos^2(a) = 1$.

$cos^2(a) = 1 - sin^2(a) = 1 - (0,4)^2 = 1 - 0,16 = 0,84$.

Так как $cos(a) < 0$ во второй четверти, берем отрицательное значение корня:

$cos(a) = -\sqrt{0,84} = -\sqrt{\frac{84}{100}} = -\frac{\sqrt{4 \cdot 21}}{10} = -\frac{2\sqrt{21}}{10} = -\frac{\sqrt{21}}{5}$.

2. Теперь найдем $sin(2a)$ по формуле синуса двойного угла: $sin(2a) = 2sin(a)cos(a)$.

$sin(2a) = 2 \cdot 0,4 \cdot (-\frac{\sqrt{21}}{5}) = 0,8 \cdot (-\frac{\sqrt{21}}{5}) = \frac{4}{5} \cdot (-\frac{\sqrt{21}}{5}) = -\frac{4\sqrt{21}}{25}$.

3. Найдем $cos(2a)$ по формуле косинуса двойного угла: $cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)$.

$cos(2a) = (-\frac{\sqrt{21}}{5})^2 - (0,4)^2 = \frac{21}{25} - (\frac{2}{5})^2 = \frac{21}{25} - \frac{4}{25} = \frac{17}{25}$.

Проверка по другой формуле: $cos(2a) = 1 - 2sin^2(a) = 1 - 2(0,4)^2 = 1 - 2(0,16) = 1 - 0,32 = 0,68 = \frac{17}{25}$.

Ответ: $sin(2a) = -\frac{4\sqrt{21}}{25}$; $cos(2a) = \frac{17}{25}$.

2) $ctg(a)$, $tg(2a)$, если $cos(a) = -0,6$ и $180° < a < 270°$;

Угол $a$ находится в третьей четверти ($180° < a < 270°$), где и синус, и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны.

1. Найдем $sin(a)$ из тождества $sin^2(a) + cos^2(a) = 1$.

$sin^2(a) = 1 - cos^2(a) = 1 - (-0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$.

Так как $sin(a) < 0$ в третьей четверти:

$sin(a) = -\sqrt{0,64} = -0,8$.

2. Найдем $ctg(a)$ по определению: $ctg(a) = \frac{cos(a)}{sin(a)}$.

$ctg(a) = \frac{-0,6}{-0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

3. Для нахождения $tg(2a)$ сначала найдем $tg(a)$.

$tg(a) = \frac{1}{ctg(a)} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.

Теперь используем формулу тангенса двойного угла: $tg(2a) = \frac{2tg(a)}{1 - tg^2(a)}$.

$tg(2a) = \frac{2 \cdot \frac{4}{3}}{1 - (\frac{4}{3})^2} = \frac{\frac{8}{3}}{1 - \frac{16}{9}} = \frac{\frac{8}{3}}{\frac{9 - 16}{9}} = \frac{\frac{8}{3}}{-\frac{7}{9}} = \frac{8}{3} \cdot (-\frac{9}{7}) = -\frac{8 \cdot 3}{7} = -\frac{24}{7}$.

Ответ: $ctg(a) = \frac{3}{4}$; $tg(2a) = -\frac{24}{7}$.

3) $cos(a)$, $sin(a)$, если $tg(a) = \sqrt{8}$ и $180° < a < 270°$;

Угол $a$ находится в третьей четверти ($180° < a < 270°$), где тангенс положителен, а синус и косинус отрицательны.

1. Найдем $cos(a)$ с помощью тождества $1 + tg^2(a) = \frac{1}{cos^2(a)}$.

$cos^2(a) = \frac{1}{1 + tg^2(a)} = \frac{1}{1 + (\sqrt{8})^2} = \frac{1}{1+8} = \frac{1}{9}$.

Так как $cos(a) < 0$ в третьей четверти:

$cos(a) = -\sqrt{\frac{1}{9}} = -\frac{1}{3}$.

2. Найдем $sin(a)$, используя определение тангенса: $sin(a) = tg(a) \cdot cos(a)$.

$sin(a) = \sqrt{8} \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{\sqrt{8}}{3} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Ответ: $cos(a) = -\frac{1}{3}$; $sin(a) = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.