Номер 18.20, страница 143, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.20. Найдите $\cos(\alpha + \beta)$, $\sin(\alpha - \beta)$, если $\cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$, $\sin \beta = \frac{1}{8}$ и $\alpha, \beta \in$ I четверти.

Для решения задачи нам понадобятся значения $ \sin\alpha $ и $ \cos\beta $. По условию, углы $ \alpha $ и $ \beta $ находятся в I четверти, поэтому их синусы и косинусы положительны. Найдем недостающие значения, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $.

1. Находим $ \sin\alpha $, зная $ \cos\alpha = \frac{\sqrt{15}}{4} $:

$ \sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{15}{16}} = \sqrt{\frac{16-15}{16}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4} $.

2. Находим $ \cos\beta $, зная $ \sin\beta = \frac{1}{8} $:

$ \cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{8}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{64}} = \sqrt{\frac{64-1}{64}} = \sqrt{\frac{63}{64}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 7}}{8} = \frac{3\sqrt{7}}{8} $.

Теперь у нас есть все необходимые значения для вычислений: $ \sin\alpha = \frac{1}{4} $, $ \cos\alpha = \frac{\sqrt{15}}{4} $, $ \sin\beta = \frac{1}{8} $, $ \cos\beta = \frac{3\sqrt{7}}{8} $.

cos(α + β)

Используем формулу косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $.

Подставляем известные значения:

$ \cos(\alpha + \beta) = \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right) \cdot \left(\frac{3\sqrt{7}}{8}\right) - \left(\frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{1}{8}\right) = \frac{3\sqrt{105}}{32} - \frac{1}{32} = \frac{3\sqrt{105} - 1}{32} $.

Ответ: $ \frac{3\sqrt{105} - 1}{32} $.

sin(α - β)

Используем формулу синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $.

Подставляем известные значения:

$ \sin(\alpha - \beta) = \left(\frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{3\sqrt{7}}{8}\right) - \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right) \cdot \left(\frac{1}{8}\right) = \frac{3\sqrt{7}}{32} - \frac{\sqrt{15}}{32} = \frac{3\sqrt{7} - \sqrt{15}}{32} $.

Ответ: $ \frac{3\sqrt{7} - \sqrt{15}}{32} $.