Номер 18.14, страница 142, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.14. Найдите корни уравнения:

1) $9\arccos^2 2x - 3\pi \arccos 2x - 2\pi^2 = 0;$

2) $2\arcsin 2x = \arccos 7x;$

3) $2\arccos x - \arccos(2x^2 - 1) = 0;$

4) $\arcsin \frac{2x}{x^2+1} - 2\operatorname{arctg} x = 0.$

1) $9\arccos^2(2x) - 3\pi\arccos(2x) - 2\pi^2 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\arccos(2x)$. Выполним замену переменной. Пусть $y = \arccos(2x)$.

Учитывая область значений функции арккосинус, имеем ограничение: $0 \le y \le \pi$.

После замены уравнение принимает вид:

$9y^2 - 3\pi y - 2\pi^2 = 0$.

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = (-3\pi)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-2\pi^2) = 9\pi^2 + 72\pi^2 = 81\pi^2$.

Тогда $\sqrt{D} = \sqrt{81\pi^2} = 9\pi$.

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-(-3\pi) + 9\pi}{2 \cdot 9} = \frac{12\pi}{18} = \frac{2\pi}{3}$.

$y_2 = \frac{-(-3\pi) - 9\pi}{2 \cdot 9} = \frac{-6\pi}{18} = -\frac{\pi}{3}$.

Теперь выполним обратную замену $y = \arccos(2x)$ и проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $0 \le y \le \pi$.

Для корня $y_1 = \frac{2\pi}{3}$: значение $\frac{2\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[0, \pi]$. Следовательно, уравнение имеет решение.

$\arccos(2x) = \frac{2\pi}{3}$

$2x = \cos(\frac{2\pi}{3})$

$2x = -\frac{1}{2}$

$x = -\frac{1}{4}$

Для корня $y_2 = -\frac{\pi}{3}$: значение $-\frac{\pi}{3}$ не принадлежит отрезку $[0, \pi]$, поэтому это посторонний корень.

Проверим найденный корень $x = -\frac{1}{4}$ на соответствие области определения $\arccos(2x)$, то есть $-1 \le 2x \le 1$.

$-1 \le 2(-\frac{1}{4}) \le 1 \implies -1 \le -\frac{1}{2} \le 1$. Неравенство верно.

Ответ: $x = -\frac{1}{4}$.

2) $2\arcsin(2x) = \arccos(7x)$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого решим систему неравенств:

$\begin{cases} -1 \le 2x \le 1 \\ -1 \le 7x \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} -\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{7} \le x \le \frac{1}{7} \end{cases}$

Пересечением этих промежутков является отрезок $x \in [-\frac{1}{7}, \frac{1}{7}]$.

Оценим левую и правую части уравнения. Область значений $\arccos(7x)$ — это $[0, \pi]$. Следовательно, левая часть также должна быть в этом промежутке: $0 \le 2\arcsin(2x) \le \pi$.

Из $2\arcsin(2x) \ge 0$ следует, что $\arcsin(2x) \ge 0$, что, в свою очередь, означает $2x \ge 0$, то есть $x \ge 0$.

С учетом ОДЗ, получаем, что решение должно лежать в отрезке $x \in [0, \frac{1}{7}]$.

Возьмем косинус от обеих частей уравнения:

$\cos(2\arcsin(2x)) = \cos(\arccos(7x))$.

Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$, получаем для левой части:

$\cos(2\arcsin(2x)) = 1 - 2\sin^2(\arcsin(2x)) = 1 - 2(2x)^2 = 1 - 8x^2$.

Для правой части: $\cos(\arccos(7x)) = 7x$.

Получаем алгебраическое уравнение: $1 - 8x^2 = 7x$.

$8x^2 + 7x - 1 = 0$.

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 49 + 32 = 81$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 8} = \frac{-7 \pm 9}{16}$.

$x_1 = \frac{-7 + 9}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.

$x_2 = \frac{-7 - 9}{16} = \frac{-16}{16} = -1$.

Проверяем корни на принадлежность промежутку $[0, \frac{1}{7}]$.

Корень $x_2 = -1$ не подходит, так как он отрицательный.

Корень $x_1 = \frac{1}{8}$. Сравним $\frac{1}{8}$ с $\frac{1}{7}$. Так как $8 > 7$, то $\frac{1}{8} < \frac{1}{7}$. Корень $x = \frac{1}{8}$ удовлетворяет условию $0 \le x \le \frac{1}{7}$.

Ответ: $x = \frac{1}{8}$.

3) $2\arccos x - \arccos(2x^2 - 1) = 0$

Перепишем уравнение: $2\arccos x = \arccos(2x^2 - 1)$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Для $\arccos x$: $-1 \le x \le 1$.

Для $\arccos(2x^2 - 1)$: $-1 \le 2x^2 - 1 \le 1$. Из $2x^2 - 1 \ge -1$ следует $2x^2 \ge 0$ (верно всегда). Из $2x^2 - 1 \le 1$ следует $2x^2 \le 2 \implies x^2 \le 1 \implies -1 \le x \le 1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-1, 1]$.

Воспользуемся известным тождеством для удвоенного арккосинуса:

$2\arccos x = \begin{cases} \arccos(2x^2 - 1), & \text{если } 0 \le x \le 1 \\ 2\pi - \arccos(2x^2 - 1), & \text{если } -1 \le x < 0 \end{cases}$

Рассмотрим два случая в соответствии с этим тождеством.

Случай 1: $0 \le x \le 1$.

В этом случае $2\arccos x = \arccos(2x^2 - 1)$, и исходное уравнение превращается в тождество: $\arccos(2x^2 - 1) - \arccos(2x^2 - 1) = 0$. Это означает, что все значения $x$ из отрезка $[0, 1]$ являются решениями.

Случай 2: $-1 \le x < 0$.

В этом случае $2\arccos x = 2\pi - \arccos(2x^2 - 1)$. Подставим в исходное уравнение:

$(2\pi - \arccos(2x^2 - 1)) - \arccos(2x^2 - 1) = 0$.

$2\pi - 2\arccos(2x^2 - 1) = 0$.

$\arccos(2x^2 - 1) = \pi$.

$2x^2 - 1 = \cos(\pi) = -1$.

$2x^2 = 0 \implies x = 0$.

Однако значение $x=0$ не входит в рассматриваемый интервал $[-1, 0)$, поэтому в этом случае решений нет.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что решением является отрезок $[0, 1]$.

Ответ: $x \in [0, 1]$.

4) $\arcsin\frac{2x}{x^2 + 1} - 2\arctan x = 0$

Перепишем уравнение: $\arcsin\frac{2x}{x^2 + 1} = 2\arctan x$.

Найдем ОДЗ. Аргумент арксинуса должен лежать в отрезке $[-1, 1]$. Проверим неравенство $|\frac{2x}{x^2 + 1}| \le 1$.

Так как $x^2 + 1 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, неравенство равносильно $|2x| \le x^2 + 1$, или $x^2 - 2|x| + 1 \ge 0$.

Это можно записать как $(|x| - 1)^2 \ge 0$, что верно для любого действительного $x$. Область определения $\arctan x$ — все действительные числа. Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \in \mathbb{R}$.

Воспользуемся тождеством, которое следует из формулы синуса двойного угла через тангенс: $\sin(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}$.

Пусть $\alpha = \arctan x$. Тогда $x = \tan\alpha$. Аргумент арксинуса становится $\frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha} = \sin(2\alpha)$.

Уравнение принимает вид $\arcsin(\sin(2\arctan x)) = 2\arctan x$.

Равенство $\arcsin(\sin y) = y$ выполняется тогда и только тогда, когда $y$ принадлежит области значений арксинуса, то есть $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

В нашем случае $y = 2\arctan x$. Таким образом, исходное уравнение равносильно неравенству:

$-\frac{\pi}{2} \le 2\arctan x \le \frac{\pi}{2}$.

Разделим все части на 2:

$-\frac{\pi}{4} \le \arctan x \le \frac{\pi}{4}$.

Поскольку функция $y=\tan x$ является возрастающей, мы можем применить ее ко всем частям неравенства, сохранив знаки:

$\tan(-\frac{\pi}{4}) \le \tan(\arctan x) \le \tan(\frac{\pi}{4})$.

$-1 \le x \le 1$.

Для $|x| > 1$ равенство $\arcsin(\sin(2\arctan x)) = 2\arctan x$ не выполняется. Например, при $x > 1$ имеем $\frac{\pi}{2} < 2\arctan x < \pi$, и тогда $\arcsin(\sin(2\arctan x)) = \pi - 2\arctan x$. Исходное уравнение превращается в $\pi - 2\arctan x - 2\arctan x = 0$, откуда $\arctan x = \frac{\pi}{4}$, что дает $x=1$. Этот корень уже включен в наше решение. Аналогично для $x < -1$.

Ответ: $x \in [-1, 1]$.