Номер 18.8, страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.8.1)

1) $ \text{arctg}(x^3 - 27x - \sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}; $ 2) $ \text{arctg}(3x^2 - 12x - \frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}; $

3) $ \text{arctg}(3x - x^2 + 1) = \frac{\pi}{4}; $ 4) $ \text{arctg}(x^3 - 8x^2 + 15x + 1) = \frac{\pi}{4}. $

18.9.

1)Исходное уравнение: $arctg(x^3 - 27x - \sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

По определению арктангенса, если $arctg(a) = b$, то $a = tg(b)$. Применим это свойство к нашему уравнению. Значение $-\frac{\pi}{3}$ находится в области значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, поэтому преобразование является равносильным.

$x^3 - 27x - \sqrt{3} = tg(-\frac{\pi}{3})$.

Известно, что $tg(-\frac{\pi}{3}) = -tg(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.

Подставим это значение в уравнение:

$x^3 - 27x - \sqrt{3} = -\sqrt{3}$.

Прибавим $\sqrt{3}$ к обеим частям уравнения:

$x^3 - 27x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 27) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем совокупность уравнений:

$x = 0$ или $x^2 - 27 = 0$.

Решая второе уравнение, получаем: $x^2 = 27 \implies x = \pm\sqrt{27} \implies x = \pm3\sqrt{3}$.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $0; -3\sqrt{3}; 3\sqrt{3}$.

2)Исходное уравнение: $arctg(3x^2 - 12x - \frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.

По определению арктангенса, это уравнение равносильно следующему:

$3x^2 - 12x - \frac{\sqrt{3}}{3} = tg(-\frac{\pi}{6})$.

Значение тангенса для данного угла: $tg(-\frac{\pi}{6}) = -tg(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Подставим это значение:

$3x^2 - 12x - \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Упростим уравнение, прибавив $\frac{\sqrt{3}}{3}$ к обеим частям:

$3x^2 - 12x = 0$.

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x - 4) = 0$.

Отсюда находим корни:

$3x = 0 \implies x_1 = 0$.

$x - 4 = 0 \implies x_2 = 4$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $0; 4$.

3)Исходное уравнение: $arcctg(3x - x^2 + 1) = \frac{\pi}{4}$.

По определению арккотангенса, если $arcctg(a) = b$, то $a = ctg(b)$. Значение $\frac{\pi}{4}$ находится в области значений арккотангенса $(0; \pi)$, поэтому преобразование равносильно.

$3x - x^2 + 1 = ctg(\frac{\pi}{4})$.

Известно, что $ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Подставляем это значение в уравнение:

$3x - x^2 + 1 = 1$.

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$3x - x^2 = 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(3 - x) = 0$.

Это уравнение имеет два решения:

$x_1 = 0$.

$3 - x = 0 \implies x_2 = 3$.

Ответ: $0; 3$.

4)Исходное уравнение: $arcctg(x^3 - 8x^2 + 15x + 1) = \frac{\pi}{4}$.

По определению арккотангенса, данное уравнение равносильно уравнению:

$x^3 - 8x^2 + 15x + 1 = ctg(\frac{\pi}{4})$.

Так как $ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:

$x^3 - 8x^2 + 15x + 1 = 1$.

Упростим уравнение:

$x^3 - 8x^2 + 15x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 8x + 15) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x^2 - 8x + 15 = 0$.

Решим квадратное уравнение $x^2 - 8x + 15 = 0$. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 8, а их произведение равно 15. Легко подобрать корни: $x_2 = 3$ и $x_3 = 5$.

Проверка: $3+5=8$, $3 \cdot 5 = 15$.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $0; 3; 5$.