Номер 18.5, страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.5.1) $\operatorname{arctg}(4x + 1) = \frac{7\pi}{12}$;

2) $\operatorname{arctg}(4x + 1) = \frac{3\pi}{4}$;

3) $\operatorname{arctg}(4 - x) = \frac{\pi}{2}$;

4) $\operatorname{arctg}(2x + 1) = -\frac{\pi}{4}$.

1) Исходное уравнение: $arctg(4x + 1) = \frac{7\pi}{12}$.

По определению, область значений функции арктангенс, $y = arctg(x)$, является интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Выразим $\frac{\pi}{2}$ в долях от 12, чтобы сравнить с правой частью уравнения: $\frac{\pi}{2} = \frac{6\pi}{12}$.

Правая часть уравнения равна $\frac{7\pi}{12}$. Сравниваем: $\frac{7\pi}{12} > \frac{6\pi}{12}$, то есть $\frac{7\pi}{12} > \frac{\pi}{2}$.

Так как значение $\frac{7\pi}{12}$ не входит в область значений функции арктангенс, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

2) Исходное уравнение: $arcctg(4x + 1) = \frac{3\pi}{4}$.

По определению, $y = arcctg(x)$ равносильно $ctg(y) = x$ при условии, что $y$ принадлежит области значений арккотангенса, то есть $y \in (0, \pi)$.

Значение $\frac{3\pi}{4}$ находится в интервале $(0, \pi)$, поэтому решение существует.

Возьмем котангенс от обеих частей уравнения:

$ctg(arcctg(4x + 1)) = ctg(\frac{3\pi}{4})$

$4x + 1 = ctg(\frac{3\pi}{4})$

Найдем значение $ctg(\frac{3\pi}{4})$. Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй четверти, где котангенс отрицателен. $ctg(\frac{3\pi}{4}) = ctg(\pi - \frac{\pi}{4}) = -ctg(\frac{\pi}{4}) = -1$.

Подставим это значение в уравнение:

$4x + 1 = -1$

$4x = -1 - 1$

$4x = -2$

$x = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $x = -\frac{1}{2}$.

3) Исходное уравнение: $arcctg(4 - x) = \frac{\pi}{2}$.

Область значений функции арккотангенс — это интервал $(0, \pi)$. Значение $\frac{\pi}{2}$ принадлежит этому интервалу.

Применим функцию котангенса к обеим частям уравнения:

$ctg(arcctg(4 - x)) = ctg(\frac{\pi}{2})$

$4 - x = ctg(\frac{\pi}{2})$

Значение $ctg(\frac{\pi}{2})$ равно $0$.

Подставляем это значение в уравнение:

$4 - x = 0$

$x = 4$

Ответ: $x = 4$.

4) Исходное уравнение: $arctg(2x + 1) = -\frac{\pi}{4}$.

Область значений функции арктангенс — это интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Значение $-\frac{\pi}{4}$ принадлежит этому интервалу, следовательно, решение существует.

Применим функцию тангенса к обеим частям уравнения:

$tg(arctg(2x + 1)) = tg(-\frac{\pi}{4})$

$2x + 1 = tg(-\frac{\pi}{4})$

Тангенс является нечетной функцией, поэтому $tg(-\frac{\pi}{4}) = -tg(\frac{\pi}{4})$. Так как $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$, то $tg(-\frac{\pi}{4}) = -1$.

Подставляем это значение в уравнение:

$2x + 1 = -1$

$2x = -1 - 1$

$2x = -2$

$x = -1$

Ответ: $x = -1$.