Номер 17.25, страница 137, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.25. Используя способ введения новой переменной, найдите корни уравнения:

1) $(x^2 - 2x)^2 - 2(x^2 - 2x) - 8 = 0$;

2) $(x^2 + x)^2 - 3(x^2 + x) - 10 = 0$;

3) $x^2 + 6|x| - 16 = 0$;

4) $x + 7\sqrt{x} - 18 = 0$.

1) $(x^2 - 2x)^2 - 2(x^2 - 2x) - 8 = 0$

Введем новую переменную. Пусть $t = x^2 - 2x$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 2t - 8 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$.

Случай 1: $t = 4$.

$x^2 - 2x = 4$

$x^2 - 2x - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение:

$D_1 = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$

$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$

Случай 2: $t = -2$.

$x^2 - 2x = -2$

$x^2 - 2x + 2 = 0$

Найдем дискриминант:

$D_2 = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$

Поскольку $D_2 < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Таким образом, корни исходного уравнения — это $1 - \sqrt{5}$ и $1 + \sqrt{5}$.

Ответ: $1 - \sqrt{5}; 1 + \sqrt{5}$.

2) $(x^2 + x)^2 - 3(x^2 + x) - 10 = 0$

Введем новую переменную. Пусть $t = x^2 + x$. Уравнение примет вид:

$t^2 - 3t - 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно -10, следовательно, $t_1 = 5$ и $t_2 = -2$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 5$.

$x^2 + x = 5$

$x^2 + x - 5 = 0$

$D_1 = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 1 + 20 = 21$

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}$

Случай 2: $t = -2$.

$x^2 + x = -2$

$x^2 + x + 2 = 0$

$D_2 = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$

Так как $D_2 < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: $\frac{-1 - \sqrt{21}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}$.

3) $x^2 + 6|x| - 16 = 0$

Так как $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать в следующем виде:

$|x|^2 + 6|x| - 16 = 0$

Введем новую переменную $t = |x|$. Учтем, что модуль числа всегда неотрицателен, поэтому $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 6t - 16 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -6, а произведение равно -16. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -8$.

Проверим корни с учетом условия $t \ge 0$.

$t_1 = 2$ удовлетворяет условию.

$t_2 = -8$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому является посторонним корнем.

Выполним обратную замену для $t = 2$:

$|x| = 2$

Это уравнение имеет два решения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $-2; 2$.

4) $x + 7\sqrt{x} - 18 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием $x \ge 0$.

Поскольку $x = (\sqrt{x})^2$ для $x \ge 0$, введем новую переменную $t = \sqrt{x}$. Так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, то $t \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$t^2 + 7t - 18 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -7, а произведение -18. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -9$.

Проверим корни с учетом условия $t \ge 0$.

$t_1 = 2$ удовлетворяет условию.

$t_2 = -9$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому это посторонний корень.

Выполним обратную замену для $t = 2$:

$\sqrt{x} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$x = 4$

Корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \ge 0$).

Ответ: $4$.