Страница 101 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Разъясните смысл понятий «решить неравенство» и «доказать неравенство».

2. Напишите формулы решения простейших тригонометрических неравенств. Докажите их.

3. Объясните смысл ограничения $|a| < 1$ в формулах 1)–4). Почему в формулах 5)–8) нет подобного ограничения? Какие значения $a$ допустимы в этих формулах? Почему?

1. Понятие «решить неравенство» означает найти множество всех значений переменной (или переменных), при которых данное неравенство является верным. Это множество называется решением неравенства. Например, решением неравенства $x^2 > 4$ является объединение интервалов $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$, то есть все числа, которые меньше -2 или больше 2.

Понятие «доказать неравенство» означает показать, что данное неравенство справедливо для всех значений переменных из некоторой указанной области (часто для всех действительных чисел). Здесь не требуется находить конкретные значения, а нужно установить универсальную истинность утверждения. Например, доказательство неравенства $x^2 + 1 > 0$ заключается в том, чтобы показать, что оно верно для любого действительного числа $x$. Это можно сделать, отметив, что $x^2 \ge 0$, следовательно, $x^2 + 1 \ge 1$, а значит, всегда больше 0.

Ответ: «Решить неравенство» — это найти множество всех его решений (конкретные значения или интервалы), тогда как «доказать неравенство» — это показать, что оно верно для всех допустимых значений переменных.

2. Простейшими тригонометрическими неравенствами называют неравенства вида $\sin(x) \gtrless a$, $\cos(x) \gtrless a$, $\tan(x) \gtrless a$, $\cot(x) \gtrless a$. Ниже приведены формулы их решений.

Формулы для $\sin(x)$ и $\cos(x)$ (при $|a| < 1$)

1) $\sin(x) > a \iff \arcsin(a) + 2\pi k < x < \pi - \arcsin(a) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

2) $\sin(x) < a \iff -\pi - \arcsin(a) + 2\pi k < x < \arcsin(a) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

3) $\cos(x) > a \iff -\arccos(a) + 2\pi k < x < \arccos(a) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

4) $\cos(x) < a \iff \arccos(a) + 2\pi k < x < 2\pi - \arccos(a) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Формулы для $\tan(x)$ и $\cot(x)$ (при любом $a \in \mathbb{R}$)

5) $\tan(x) > a \iff \arctan(a) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

6) $\tan(x) < a \iff -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \arctan(a) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

7) $\cot(x) > a \iff \pi k < x < \operatorname{arccot}(a) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

8) $\cot(x) < a \iff \operatorname{arccot}(a) + \pi k < x < \pi + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Доказательство формул для $\sin(x)$ и $\cos(x)$

Доказательство проводится с помощью тригонометрической окружности. Значение $\sin(x)$ — это ордината (координата $y$), а $\cos(x)$ — это абсцисса (координата $x$) точки на окружности, соответствующей углу $x$.

Для неравенств с $\sin(x)$: проводим горизонтальную прямую $y=a$. Решения неравенства $\sin(x) > a$ — это углы, которым соответствуют точки на дуге окружности, лежащей выше этой прямой (выделено зеленым). Решения неравенства $\sin(x) < a$ — это углы, соответствующие точкам на дуге, лежащей ниже этой прямой (выделено оранжевым). Граничные точки дуги — это $P_1$ и $P_2$, углы которых равны $\arcsin(a)$ и $\pi - \arcsin(a)$. Учитывая периодичность синуса ($2\pi$), получаем формулы 1 и 2.

Для неравенств с $\cos(x)$: проводим вертикальную прямую $x=a$. Решения неравенства $\cos(x) > a$ — это углы, которым соответствуют точки на дуге окружности, лежащей правее этой прямой (выделено зеленым). Решения неравенства $\cos(x) < a$ — это углы, соответствующие точкам на дуге, лежащей левее этой прямой (выделено оранжевым). Граничные точки дуги — это $P_1$ и $P_2$, углы которых равны $\arccos(a)$ и $-\arccos(a)$. Учитывая периодичность косинуса ($2\pi$), получаем формулы 3 и 4.

Доказательство формул для $\tan(x)$ и $\cot(x)$

Доказательство удобно проводить с помощью графиков функций. Функция $y=\tan(x)$ является возрастающей на каждом интервале области определения $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$. Решая неравенство $\tan(x) > a$, находим корень уравнения $\tan(x)=a$, равный $\arctan(a)$. В силу возрастания, неравенство выполняется для $x > \arctan(a)$ в пределах одного периода, то есть до асимптоты $x=\frac{\pi}{2}$. Аналогично для $\tan(x) < a$. Учитывая периодичность тангенса ($\pi$), получаем формулы 5 и 6.

Функция $y=\cot(x)$ является убывающей на каждом интервале области определения $(\pi k, \pi(k+1))$. Решая неравенство $\cot(x) > a$, находим корень $\operatorname{arccot}(a)$. В силу убывания, неравенство выполняется для $x < \operatorname{arccot}(a)$ в пределах одного периода, то есть от асимптоты $x=0$. Аналогично для $\cot(x) < a$. Учитывая периодичность котангенса ($\pi$), получаем формулы 7 и 8.

Ответ: Формулы и их доказательства представлены выше. Решения получаются анализом положения точек на тригонометрической окружности или на графике функции относительно прямой, соответствующей значению $a$, с учетом периодичности функций.

3. Ограничение $|a| < 1$ в формулах 1)-4)

Это ограничение связано с областью значений функций синуса и косинуса. Для любого действительного угла $x$ справедливы неравенства $-1 \le \sin(x) \le 1$ и $-1 \le \cos(x) \le 1$. Это означает, что $| \sin(x) | \le 1$ и $| \cos(x) | \le 1$.

Рассмотрим неравенства, например, $\sin(x) > a$:

• Если $a \ge 1$, то неравенство $\sin(x) > a$ не имеет решений, так как $\sin(x)$ не может быть больше или равен 1 (за исключением случая $\sin(x)=1$ при $a=1$, но неравенство строгое).
• Если $a < -1$, то неравенство $\sin(x) > a$ выполняется для любого $x \in \mathbb{R}$, так как $\sin(x) \ge -1$ всегда.

Формулы 1)-4) описывают нетривиальные случаи, когда решениями являются интервалы, а не пустое множество или вся числовая прямая. Эти случаи возникают только тогда, когда прямая $y=a$ (для синуса) или $x=a$ (для косинуса) пересекает единичную окружность, что происходит именно при условии $|a| < 1$. Также при $|a|=1$ возникают вырожденные случаи, а функции $\arcsin(a)$ и $\arccos(a)$, используемые в формулах, определены для $|a| \le 1$. Ограничение $|a| < 1$ в условии формул используется для того, чтобы решение всегда представляло собой непустой интервал.

Отсутствие ограничения в формулах 5)-8)

Для функций тангенса и котангенса подобного ограничения нет. Это связано с их областью значений. Область значений функций $y=\tan(x)$ и $y=\cot(x)$ — это множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty, +\infty)$.

Это означает, что для любого действительного числа $a$ уравнение $\tan(x)=a$ (и $\cot(x)=a$) всегда имеет решение. Следовательно, неравенства $\tan(x) \gtrless a$ и $\cot(x) \gtrless a$ всегда имеют нетривиальные решения при любом $a \in \mathbb{R}$.

Допустимые значения $a$

В формулах 5)-8) для тангенса и котангенса параметр $a$ может принимать любые действительные значения, то есть $a \in \mathbb{R}$. Это следует из того, что область значений этих функций — вся числовая прямая.

Ответ: Ограничение $|a|<1$ для синуса и косинуса обусловлено их ограниченной областью значений $[-1, 1]$. Формулы описывают нетривиальные случаи, возникающие только при этом условии. Для тангенса и котангенса такого ограничения нет, так как их область значений — все действительные числа $(-\infty, +\infty)$, поэтому в формулах 5)-8) $a$ может быть любым действительным числом.

В упражнениях 3.64–3.67 решите неравенства.

3. 64.

1) $ \sin x \ge \frac{1}{2}; $

2) $ \cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2}; $

3) $ \operatorname{tg} x > -\frac{1}{\sqrt{3}}; $

4) $ \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2}; $

5) $ \cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}; $

6) $ \operatorname{ctg} x \le \sqrt{3}. $

1)Решим неравенство $ \sin x \ge \frac{1}{2} $.
Сначала найдем корни уравнения $ \sin x = \frac{1}{2} $. На тригонометрической окружности этому значению соответствуют углы $ x_1 = \frac{\pi}{6} $ и $ x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.
Неравенству $ \sin x \ge \frac{1}{2} $ соответствуют точки на единичной окружности, ордината (координата y) которых больше или равна $ \frac{1}{2} $. Эти точки лежат на дуге, заключенной между точками, соответствующими углам $ \frac{\pi}{6} $ и $ \frac{5\pi}{6} $.
Учитывая периодичность синуса (период $ 2\pi $), общее решение неравенства можно записать в виде двойного неравенства.

Ответ: $ x \in [\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z} $.

2)Решим неравенство $ \cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Находим корни уравнения $ \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Это углы $ x_1 = \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6} $ и $ x_2 = 2\pi - \frac{5\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} $.
Неравенству $ \cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2} $ соответствуют точки на единичной окружности, абсцисса (координата x) которых меньше $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Эти точки лежат на дуге между точками, соответствующими углам $ \frac{5\pi}{6} $ и $ \frac{7\pi}{6} $.
С учетом периода косинуса $ 2\pi $, получаем общее решение.

Ответ: $ x \in (\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z} $.

3)Решим неравенство $ \text{tg} \, x > -\frac{1}{\sqrt{3}} $.
Сначала решим уравнение $ \text{tg} \, x = -\frac{1}{\sqrt{3}} $. Корень этого уравнения $ x = \text{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6} $.
Функция тангенса определена для $ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n $. Период тангенса равен $ \pi $. Рассмотрим решение на интервале $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $. На этом интервале $ \text{tg} \, x $ возрастает, поэтому решение неравенства $ \text{tg} \, x > -\frac{1}{\sqrt{3}} $ есть интервал $ (-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}) $.
Добавляя период $ \pi n $, получаем общее решение.

Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z} $.

4)Решим неравенство $ \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Решим уравнение $ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Корни: $ x_1 = \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4} $ и $ x_2 = \pi - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{5\pi}{4} $. Удобнее взять второй корень как $ x_2 = -\pi - \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} $.
На единичной окружности неравенству $ \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} $ соответствуют точки с ординатой меньше $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Эти точки находятся на дуге между $ -\frac{3\pi}{4} $ и $ -\frac{\pi}{4} $.
Учитывая периодичность, записываем общее решение.

Ответ: $ x \in (-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, -\frac{\pi}{4} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z} $.

5)Решим неравенство $ \cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Находим корни уравнения $ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} $. На промежутке $ [-\pi, \pi] $ это углы $ x_1 = -\frac{\pi}{4} $ и $ x_2 = \frac{\pi}{4} $.
Неравенству $ \cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2} $ соответствуют точки единичной окружности, абсцисса которых больше или равна $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Эти точки образуют дугу от $ -\frac{\pi}{4} $ до $ \frac{\pi}{4} $.
Общее решение получаем, прибавляя период $ 2\pi n $.

Ответ: $ x \in [-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z} $.

6)Решим неравенство $ \text{ctg} \, x \le \sqrt{3} $.
Решаем уравнение $ \text{ctg} \, x = \sqrt{3} $. Корень этого уравнения $ x = \text{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6} $.
Функция котангенса определена для $ x \ne \pi n $. Период котангенса равен $ \pi $. Рассмотрим решение на интервале $ (0, \pi) $. На этом интервале $ \text{ctg} \, x $ убывает. Решением неравенства $ \text{ctg} \, x \le \sqrt{3} $ будет промежуток $ [\frac{\pi}{6}, \pi) $.
Добавляя период $ \pi n $, получаем общее решение.

Ответ: $ x \in [\frac{\pi}{6} + \pi n, \pi + \pi n), n \in \mathbb{Z} $.