Страница 94 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Напишите формулы решения простейших обратных тригонометрических уравнений. Докажите их.

2. Напишите области определения и области значений обратных тригонометрических функций.

1. Напишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. Докажите их.

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида $\sin(x) = a$, $\cos(x) = a$, $\tan(x) = a$, $\cot(x) = a$. Их решения выражаются через обратные тригонометрические функции.

Уравнение $\sin(x) = a$

Это уравнение имеет решения только при условии $|a| \le 1$.
Формула для всех решений: $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Доказательство:
По определению, арксинус числа $a$ ($\arcsin(a)$) — это угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$. То есть, $\sin(\arcsin(a)) = a$, и $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin(a) \le \frac{\pi}{2}$. Это одно из решений уравнения, которое называют главным значением.
В силу свойства синуса $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$, другим решением уравнения на промежутке длиной $2\pi$ будет угол $\pi - \arcsin(a)$.
Функция синус периодична с периодом $2\pi$, поэтому все множество решений можно описать двумя сериями:
1. $x = \arcsin(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $x = \pi - \arcsin(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Эти две серии можно объединить в одну формулу: $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Действительно, если $k$ — четное число ($k=2n$), то $x = (-1)^{2n} \arcsin(a) + 2\pi n = \arcsin(a) + 2\pi n$, что соответствует первой серии.
Если $k$ — нечетное число ($k=2n+1$), то $x = (-1)^{2n+1} \arcsin(a) + (2n+1)\pi = -\arcsin(a) + \pi + 2\pi n$, что соответствует второй серии.
Таким образом, формула доказана.

Ответ: для уравнения $\sin(x) = a$ при $|a| \le 1$ решением является $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Уравнение $\cos(x) = a$

Это уравнение имеет решения только при условии $|a| \le 1$.
Формула для всех решений: $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Доказательство:
По определению, арккосинус числа $a$ ($\arccos(a)$) — это угол $\alpha$ из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $a$. То есть, $\cos(\arccos(a)) = a$, и $0 \le \arccos(a) \le \pi$. Это одно из решений уравнения.
В силу свойства четности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, другим решением на промежутке $(-\pi, \pi]$ будет угол $-\arccos(a)$.
Функция косинус периодична с периодом $2\pi$, поэтому все множество решений можно описать двумя сериями:
1. $x = \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. $x = -\arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Эти две серии объединяются в одну компактную формулу $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$, что и требовалось доказать.

Ответ: для уравнения $\cos(x) = a$ при $|a| \le 1$ решением является $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Уравнение $\tan(x) = a$

Это уравнение имеет решения при любом действительном значении $a$ ($a \in \mathbb{R}$).
Формула для всех решений: $x = \arctan(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Доказательство:
По определению, арктангенс числа $a$ ($\arctan(a)$) — это угол $\alpha$ из промежутка $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$. То есть, $\tan(\arctan(a)) = a$. Это одно из решений уравнения.
Функция тангенс периодична с периодом $\pi$. Это означает, что если $\tan(x)=a$, то и $\tan(x + \pi k) = a$ для любого целого $k$.
Следовательно, зная одно решение $x_0 = \arctan(a)$, мы можем найти все остальные, прибавляя к нему целое число периодов. Таким образом, общее решение имеет вид $x = \arctan(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: для уравнения $\tan(x) = a$ при $a \in \mathbb{R}$ решением является $x = \arctan(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Уравнение $\cot(x) = a$

Это уравнение имеет решения при любом действительном значении $a$ ($a \in \mathbb{R}$).
Формула для всех решений: $x = \text{arccot}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Доказательство:
По определению, арккотангенс числа $a$ ($\text{arccot}(a)$) — это угол $\alpha$ из промежутка $(0, \pi)$, котангенс которого равен $a$. То есть, $\cot(\text{arccot}(a)) = a$. Это одно из решений уравнения.
Функция котангенс периодична с периодом $\pi$. Это означает, что если $\cot(x)=a$, то и $\cot(x + \pi k) = a$ для любого целого $k$.
Следовательно, общее решение имеет вид $x = \text{arccot}(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: для уравнения $\cot(x) = a$ при $a \in \mathbb{R}$ решением является $x = \text{arccot}(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Напишите области определения и области значений обратных тригонометрических функций.

Функция $y = \arcsin(x)$ (арксинус)
Область определения (допустимые значения $x$) — это множество значений функции $y = \sin(t)$, то есть отрезок $[-1, 1]$.
Область значений (допустимые значения $y$) — по определению, это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: Область определения $D(y): x \in [-1, 1]$. Область значений $E(y): y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Функция $y = \arccos(x)$ (арккосинус)
Область определения — это множество значений функции $y = \cos(t)$, то есть отрезок $[-1, 1]$.
Область значений — по определению, это отрезок $[0, \pi]$.

Ответ: Область определения $D(y): x \in [-1, 1]$. Область значений $E(y): y \in [0, \pi]$.

Функция $y = \arctan(x)$ (арктангенс)
Область определения — это множество значений функции $y = \tan(t)$, то есть вся числовая прямая $(-\infty, +\infty)$.
Область значений — по определению, это интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Ответ: Область определения $D(y): x \in \mathbb{R}$ (или $x \in (-\infty, +\infty)$). Область значений $E(y): y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Функция $y = \text{arccot}(x)$ (арккотангенс)
Область определения — это множество значений функции $y = \cot(t)$, то есть вся числовая прямая $(-\infty, +\infty)$.
Область значений — по определению, это интервал $(0, \pi)$.

Ответ: Область определения $D(y): x \in \mathbb{R}$ (или $x \in (-\infty, +\infty)$). Область значений $E(y): y \in (0, \pi)$.