Страница 96 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.59. Решите уравнение $2 \arccos x = a + \frac{a^2}{\arccos x}$ при любом значении параметра $a$.

Данное уравнение $2 \arccos x = a + \frac{a^2}{\arccos x}$ имеет смысл при выполнении двух условий:

1. Аргумент арккосинуса $x$ должен находиться в промежутке $[-1, 1]$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть $\arccos x \ne 0$. Это означает, что $x \ne \cos(0)$, следовательно, $x \ne 1$.

Таким образом, область допустимых значений (ОДЗ) для $x$ есть $x \in [-1, 1)$. При этом множество значений функции $\arccos x$ на этой области есть $y = \arccos x \in (0, \pi]$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \arccos x$, где $y \in (0, \pi]$. Уравнение примет вид:

$2y = a + \frac{a^2}{y}$

Так как $y \ne 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $y$:

$2y^2 = ay + a^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $y$:

$2y^2 - ay - a^2 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = (-a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-a^2) = a^2 + 8a^2 = 9a^2$

Корни уравнения для $y$ равны:

$y = \frac{-(-a) \pm \sqrt{9a^2}}{2 \cdot 2} = \frac{a \pm 3|a|}{4}$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака параметра $a$.

1. Если $a > 0$, то $|a| = a$. Корни уравнения:

$y_1 = \frac{a + 3a}{4} = \frac{4a}{4} = a$

$y_2 = \frac{a - 3a}{4} = \frac{-2a}{4} = -\frac{a}{2}$

2. Если $a < 0$, то $|a| = -a$. Корни уравнения:

$y_1 = \frac{a + 3(-a)}{4} = \frac{-2a}{4} = -\frac{a}{2}$

$y_2 = \frac{a - 3(-a)}{4} = \frac{4a}{4} = a$

3. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $2y^2=0$, откуда $y=0$.

Итак, при любом $a \ne 0$ решениями квадратного уравнения для $y$ являются $y=a$ и $y=-a/2$.

Теперь необходимо проверить, при каких значениях параметра $a$ найденные корни $y$ удовлетворяют условию $y \in (0, \pi]$.

Анализ корня $y=a$

Этот корень является решением исходного уравнения, если $0 < a \le \pi$. В этом случае $\arccos x = a$, откуда $x = \cos(a)$.

Анализ корня $y=-a/2$

Этот корень является решением исходного уравнения, если $0 < -a/2 \le \pi$. Решим это двойное неравенство:

$0 < -a/2 \implies a < 0$

$-a/2 \le \pi \implies -a \le 2\pi \implies a \ge -2\pi$

Следовательно, этот корень существует при $a \in [-2\pi, 0)$. В этом случае $\arccos x = -a/2$, откуда $x = \cos(-a/2)$.

Анализ случая $a=0$

При $a=0$ мы получили $y=0$. Однако, $y$ должно принадлежать интервалу $(0, \pi]$. Значит, при $a=0$ решений нет. Это также видно из исходного уравнения: $2 \arccos x = 0$, откуда $\arccos x = 0$, что невозможно, так как $\arccos x$ находится в знаменателе.

Теперь объединим полученные результаты.

1. Если $a \in [-2\pi, 0)$, то корень $y=a$ не подходит, так как $a<0$. Корень $y=-a/2$ подходит, так как $-a/2 \in (0, \pi]$. Уравнение имеет одно решение.

Ответ: при $a \in [-2\pi, 0)$ решение $x = \cos(-\frac{a}{2})$.

2. Если $a \in (0, \pi]$, то корень $y=a$ подходит, так как $a \in (0, \pi]$. Корень $y=-a/2$ не подходит, так как $-a/2 < 0$. Уравнение имеет одно решение.

Ответ: при $a \in (0, \pi]$ решение $x = \cos(a)$.

3. Если $a \in (-\infty, -2\pi) \cup \{0\} \cup (\pi, \infty)$, то ни один из корней для $y$ не попадает в интервал $(0, \pi]$.

Ответ: при $a \in (-\infty, -2\pi) \cup \{0\} \cup (\pi, \infty)$ решений нет.

3.60. Решите уравнение при любом значении параметра $a$:

1) $\arcsin x = 2\arcsin a$;

2) $\arccos x = \arcsin 2a$.

1) Решим уравнение $ \arcsin x = 2 \arcsin a $.

Во-первых, определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменных $x$ и $a$.
Функция $ \arcsin $ определена для аргументов в отрезке $ [-1, 1] $, поэтому:
$ -1 \le x \le 1 $
$ -1 \le a \le 1 $
Область значений функции $ \arcsin $ — это отрезок $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Следовательно, левая часть уравнения $ \arcsin x $ принадлежит этому отрезку. Значит, и правая часть должна принадлежать этому же отрезку:
$ -\frac{\pi}{2} \le 2 \arcsin a \le \frac{\pi}{2} $
Разделим неравенство на 2:
$ -\frac{\pi}{4} \le \arcsin a \le \frac{\pi}{4} $
Так как функция $ \sin $ возрастает на отрезке $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, мы можем применить ее ко всем частям неравенства, сохранив знаки:
$ \sin(-\frac{\pi}{4}) \le a \le \sin(\frac{\pi}{4}) $
$ -\frac{\sqrt{2}}{2} \le a \le \frac{\sqrt{2}}{2} $
Таким образом, уравнение может иметь решение только при $ a \in [-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}] $. Если $ a $ не принадлежит этому отрезку, решений нет.

Теперь найдем $x$. Возьмем синус от обеих частей исходного уравнения:
$ \sin(\arcsin x) = \sin(2 \arcsin a) $
$ x = \sin(2 \arcsin a) $
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $. Пусть $ \alpha = \arcsin a $, тогда $ \sin\alpha = a $.
Нам нужно найти $ \cos\alpha = \cos(\arcsin a) $. Из основного тригонометрического тождества $ \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 $ следует, что $ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - a^2 $.
Поскольку $ \alpha = \arcsin a $ находится в диапазоне $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, косинус этого угла неотрицателен, т.е. $ \cos\alpha \ge 0 $.
Следовательно, $ \cos(\arcsin a) = \sqrt{1 - a^2} $.
Подставляем в выражение для $x$:
$ x = 2 \sin(\arcsin a) \cos(\arcsin a) = 2a\sqrt{1-a^2} $
Это выражение является решением уравнения при выполнении найденного ранее условия на параметр $a$.

Ответ: если $ a \in [-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}] $, то $ x = 2a\sqrt{1 - a^2} $; если $ a \notin [-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}] $, то решений нет.

2) Решим уравнение $ \arccos x = \arcsin(2a) $.

Определим ОДЗ для $x$ и $a$.
$ -1 \le x \le 1 $
$ -1 \le 2a \le 1 $, что эквивалентно $ -\frac{1}{2} \le a \le \frac{1}{2} $.
Теперь рассмотрим области значений функций.
Область значений $ \arccos x $ — это отрезок $ [0, \pi] $.
Область значений $ \arcsin(2a) $ — это отрезок $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $.
Для того чтобы равенство было возможным, значение обеих частей должно лежать в пересечении этих отрезков: $ [0, \pi] \cap [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] = [0, \frac{\pi}{2}] $.
Следовательно, должно выполняться условие:
$ 0 \le \arcsin(2a) \le \frac{\pi}{2} $
Применим возрастающую на этом промежутке функцию $ \sin $:
$ \sin(0) \le 2a \le \sin(\frac{\pi}{2}) $
$ 0 \le 2a \le 1 $
$ 0 \le a \le \frac{1}{2} $
Уравнение имеет решение только при $ a \in [0, \frac{1}{2}] $.

Для нахождения $x$ возьмем косинус от обеих частей уравнения:
$ \cos(\arccos x) = \cos(\arcsin(2a)) $
$ x = \cos(\arcsin(2a)) $
Пусть $ \beta = \arcsin(2a) $. Тогда $ \sin\beta = 2a $. Из условия $ a \in [0, \frac{1}{2}] $ следует, что $ \beta \in [0, \frac{\pi}{2}] $.
Найдем $ \cos\beta $ из основного тригонометрического тождества: $ \cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta = 1 - (2a)^2 = 1 - 4a^2 $.
Так как $ \beta \in [0, \frac{\pi}{2}] $, то $ \cos\beta \ge 0 $.
Следовательно, $ \cos\beta = \sqrt{1 - 4a^2} $.
Таким образом, $ x = \sqrt{1 - 4a^2} $.

Ответ: если $ a \in [0, \frac{1}{2}] $, то $ x = \sqrt{1 - 4a^2} $; если $ a \notin [0, \frac{1}{2}] $, то решений нет.

3.61. Найдите область определения функции $y = \sqrt{9-x|x|}$.

Область определения функции (ОДЗ) – это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. В данном случае функция $y = \sqrt{9 - x|x|}$ содержит квадратный корень. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:

$9 - x|x| \ge 0$

Для того чтобы раскрыть модуль $|x|$, рассмотрим два случая.

1. Если $x \ge 0$

В этом случае $|x| = x$. Неравенство принимает вид:

$9 - x \cdot x \ge 0$

$9 - x^2 \ge 0$

$x^2 \le 9$

Решением этого неравенства является отрезок $[-3, 3]$. Поскольку мы рассматриваем случай, когда $x \ge 0$, то из этого отрезка нам подходят только значения $x$ из промежутка $[0, 3]$.

2. Если $x < 0$

В этом случае $|x| = -x$. Неравенство принимает вид:

$9 - x \cdot (-x) \ge 0$

$9 + x^2 \ge 0$

Это неравенство верно для любого действительного числа $x$, так как $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), поэтому сумма $9 + x^2$ всегда будет положительной. Следовательно, в этом случае решением является любое число, удовлетворяющее исходному условию $x < 0$. То есть, $x \in (-\infty, 0)$.

Объединение решений

Теперь объединим решения, полученные в обоих случаях. Из первого случая мы получили промежуток $[0, 3]$, а из второго – $(-\infty, 0)$.

Объединение этих двух множеств $(-\infty, 0) \cup [0, 3]$ дает нам итоговый промежуток $(-\infty, 3]$.

Таким образом, область определения функции – это все числа $x$, такие что $x \le 3$.

Ответ: $(-\infty, 3]$.

3.62. При каких значениях параметра $a$ сумма квадратов корней квадратного трехчлена $x^2 - (a - 2)x - (a - 1)$ принимает наименьшее значение?

Рассмотрим заданный квадратный трехчлен $x^2 - (a-2)x - (a-1)$.

Для того чтобы у квадратного трехчлена существовали действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным. Найдем дискриминант для уравнения $x^2 - (a-2)x - (a-1) = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-(a-2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(a-1)) = (a-2)^2 + 4(a-1) = a^2 - 4a + 4 + 4a - 4 = a^2$.

Условие существования корней $D \ge 0$ принимает вид $a^2 \ge 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного значения параметра $a$. Следовательно, квадратный трехчлен имеет действительные корни при любом $a \in \mathbb{R}$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного квадратного трехчлена. Согласно теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ сумма корней равна $x_1+x_2 = -p$, а произведение корней равно $x_1x_2=q$. В нашем случае коэффициенты равны $p = -(a-2)$ и $q = -(a-1)$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-(a-2)) = a-2$.

Произведение корней: $x_1 x_2 = -(a-1) = 1-a$.

Нам необходимо найти значение параметра $a$, при котором сумма квадратов корней $S = x_1^2 + x_2^2$ принимает наименьшее значение. Выразим $S$ через сумму и произведение корней:

$S = x_1^2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Теперь подставим выражения для суммы и произведения корней, чтобы выразить $S$ как функцию от параметра $a$:

$S(a) = (a-2)^2 - 2(1-a) = (a^2 - 4a + 4) - 2 + 2a = a^2 - 2a + 2$.

Мы получили, что сумма квадратов корней является квадратичной функцией от параметра $a$: $S(a) = a^2 - 2a + 2$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $a^2$ положителен ($1 > 0$). Следовательно, эта функция принимает свое наименьшее значение в вершине параболы.

Координату вершины параболы $y = Ax^2+Bx+C$ можно найти по формуле $x_0 = -B/(2A)$. В нашем случае для функции $S(a) = a^2 - 2a + 2$ имеем $A=1$, $B=-2$, $C=2$.

Найдем значение $a$, при котором $S(a)$ минимально:

$a = -(-2) / (2 \cdot 1) = 2/2 = 1$.

Также можно найти минимум, выделив полный квадрат:

$S(a) = a^2 - 2a + 2 = (a^2 - 2a + 1) + 1 = (a-1)^2 + 1$.

Выражение $(a-1)^2$ всегда неотрицательно, его наименьшее значение равно 0. Это значение достигается при $a-1=0$, то есть при $a=1$. При этом наименьшее значение функции $S(a)$ будет равно $S(1) = (1-1)^2 + 1 = 1$.

Таким образом, сумма квадратов корней принимает наименьшее значение при $a=1$.

Ответ: $a=1$.

3.63. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 32, а сумма ее первых пяти членов равна 31. Найдите первый член прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — ее знаменатель. Условие, что прогрессия является бесконечно убывающей, означает, что $|q| < 1$.

Формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S$:$S = \frac{b_1}{1-q}$По условию задачи, сумма прогрессии равна 32, поэтому мы можем записать первое уравнение:$\frac{b_1}{1-q} = 32$ (1)

Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n$:$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$По условию, сумма первых пяти членов ($n=5$) равна 31. Запишем второе уравнение:$S_5 = \frac{b_1(1-q^5)}{1-q} = 31$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$. Мы можем решить эту систему.Заметим, что левую часть уравнения (2) можно представить в виде произведения:$\frac{b_1}{1-q} \cdot (1-q^5) = 31$

Подставим в это выражение значение $\frac{b_1}{1-q}$ из уравнения (1):$32 \cdot (1-q^5) = 31$

Решим полученное уравнение относительно $q$:$1-q^5 = \frac{31}{32}$$q^5 = 1 - \frac{31}{32}$$q^5 = \frac{32}{32} - \frac{31}{32}$$q^5 = \frac{1}{32}$Извлекая корень пятой степени из обеих частей уравнения, получаем:$q = \sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{1}{2}$Найденное значение $q = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $|q| < 1$, так как $|\frac{1}{2}| < 1$.

Теперь, зная знаменатель $q$, найдем первый член прогрессии $b_1$ из уравнения (1):$\frac{b_1}{1-\frac{1}{2}} = 32$$\frac{b_1}{\frac{1}{2}} = 32$$2b_1 = 32$$b_1 = \frac{32}{2}$$b_1 = 16$

Таким образом, первый член прогрессии равен 16.

Ответ: 16.