Номер 3.59, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.59. Решите уравнение $2 \arccos x = a + \frac{a^2}{\arccos x}$ при любом значении параметра $a$.

Данное уравнение $2 \arccos x = a + \frac{a^2}{\arccos x}$ имеет смысл при выполнении двух условий:

1. Аргумент арккосинуса $x$ должен находиться в промежутке $[-1, 1]$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть $\arccos x \ne 0$. Это означает, что $x \ne \cos(0)$, следовательно, $x \ne 1$.

Таким образом, область допустимых значений (ОДЗ) для $x$ есть $x \in [-1, 1)$. При этом множество значений функции $\arccos x$ на этой области есть $y = \arccos x \in (0, \pi]$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \arccos x$, где $y \in (0, \pi]$. Уравнение примет вид:

$2y = a + \frac{a^2}{y}$

Так как $y \ne 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $y$:

$2y^2 = ay + a^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $y$:

$2y^2 - ay - a^2 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = (-a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-a^2) = a^2 + 8a^2 = 9a^2$

Корни уравнения для $y$ равны:

$y = \frac{-(-a) \pm \sqrt{9a^2}}{2 \cdot 2} = \frac{a \pm 3|a|}{4}$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака параметра $a$.

1. Если $a > 0$, то $|a| = a$. Корни уравнения:

$y_1 = \frac{a + 3a}{4} = \frac{4a}{4} = a$

$y_2 = \frac{a - 3a}{4} = \frac{-2a}{4} = -\frac{a}{2}$

2. Если $a < 0$, то $|a| = -a$. Корни уравнения:

$y_1 = \frac{a + 3(-a)}{4} = \frac{-2a}{4} = -\frac{a}{2}$

$y_2 = \frac{a - 3(-a)}{4} = \frac{4a}{4} = a$

3. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $2y^2=0$, откуда $y=0$.

Итак, при любом $a \ne 0$ решениями квадратного уравнения для $y$ являются $y=a$ и $y=-a/2$.

Теперь необходимо проверить, при каких значениях параметра $a$ найденные корни $y$ удовлетворяют условию $y \in (0, \pi]$.

Анализ корня $y=a$

Этот корень является решением исходного уравнения, если $0 < a \le \pi$. В этом случае $\arccos x = a$, откуда $x = \cos(a)$.

Анализ корня $y=-a/2$

Этот корень является решением исходного уравнения, если $0 < -a/2 \le \pi$. Решим это двойное неравенство:

$0 < -a/2 \implies a < 0$

$-a/2 \le \pi \implies -a \le 2\pi \implies a \ge -2\pi$

Следовательно, этот корень существует при $a \in [-2\pi, 0)$. В этом случае $\arccos x = -a/2$, откуда $x = \cos(-a/2)$.

Анализ случая $a=0$

При $a=0$ мы получили $y=0$. Однако, $y$ должно принадлежать интервалу $(0, \pi]$. Значит, при $a=0$ решений нет. Это также видно из исходного уравнения: $2 \arccos x = 0$, откуда $\arccos x = 0$, что невозможно, так как $\arccos x$ находится в знаменателе.

Теперь объединим полученные результаты.

1. Если $a \in [-2\pi, 0)$, то корень $y=a$ не подходит, так как $a<0$. Корень $y=-a/2$ подходит, так как $-a/2 \in (0, \pi]$. Уравнение имеет одно решение.

Ответ: при $a \in [-2\pi, 0)$ решение $x = \cos(-\frac{a}{2})$.

2. Если $a \in (0, \pi]$, то корень $y=a$ подходит, так как $a \in (0, \pi]$. Корень $y=-a/2$ не подходит, так как $-a/2 < 0$. Уравнение имеет одно решение.

Ответ: при $a \in (0, \pi]$ решение $x = \cos(a)$.

3. Если $a \in (-\infty, -2\pi) \cup \{0\} \cup (\pi, \infty)$, то ни один из корней для $y$ не попадает в интервал $(0, \pi]$.

Ответ: при $a \in (-\infty, -2\pi) \cup \{0\} \cup (\pi, \infty)$ решений нет.