Номер 3.54, страница 95 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.54. 1) $\text{arctg}^2 \frac{x}{3} - 4\text{arctg} \frac{x}{3} - 5 = 0$;

2) $\text{arctg}^2 (3x + 2) + 2\text{arctg}(3x + 2) = 0$;

3) $2\arcsin x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi^2}{9}\arcsin x$;

4) $3\text{arctg}^2 x - 4\text{arctg}x + \pi^2 = 0$.

1) Данное уравнение $arctg^2 \frac{x}{3} - 4arctg \frac{x}{3} - 5 = 0$ является квадратным относительно $arctg \frac{x}{3}$.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = arctg \frac{x}{3}$. Тогда уравнение примет вид:
$y^2 - 4y - 5 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней.
Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$.
Корни уравнения:
$y_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5$
$y_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4 - 6}{2} = -1$
Теперь вернемся к исходной переменной.
1. $arctg \frac{x}{3} = 5$
Область значений функции арктангенс - это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Приближенно это $(-1.57; 1.57)$.
Поскольку $5$ не принадлежит этому интервалу, данное уравнение не имеет решений.
2. $arctg \frac{x}{3} = -1$
Значение $-1$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, так как $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$.
Из этого уравнения находим $x$:
$\frac{x}{3} = tg(-1)$
Так как тангенс - нечетная функция, $tg(-1) = -tg(1)$.
$\frac{x}{3} = -tg(1)$
$x = -3tg(1)$
Ответ: $x = -3\text{tg}(1)$.

2) Рассмотрим уравнение $arctg^2(3x+2) + 2arctg(3x+2) = 0$.
Вынесем общий множитель $arctg(3x+2)$ за скобки:
$arctg(3x+2) \cdot (arctg(3x+2) + 2) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
1. $arctg(3x+2) = 0$
$3x+2 = tg(0)$
$3x+2 = 0$
$3x = -2$
$x = -\frac{2}{3}$
2. $arctg(3x+2) + 2 = 0$
$arctg(3x+2) = -2$
Область значений функции $y = arctg(z)$ есть интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, что примерно равно $(-1.57; 1.57)$.
Поскольку $-2$ не входит в этот интервал, данное уравнение не имеет решений.
Таким образом, единственным решением является $x = -\frac{2}{3}$.
Ответ: $x = -\frac{2}{3}$.

3) Дано уравнение $2\arcsin x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi^2}{9} - \arcsin x$.
Это линейное уравнение относительно $\arcsin x$. Перенесем все члены с $\arcsin x$ в левую часть:
$2\arcsin x + \arcsin x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi^2}{9}$
$3\arcsin x = \frac{3\pi + \pi^2}{9}$
$\arcsin x = \frac{3\pi + \pi^2}{27}$
Для существования решения необходимо, чтобы значение $\frac{3\pi + \pi^2}{27}$ находилось в области значений арксинуса, то есть в отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Проверим это условие. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$:
$\frac{3(3.14) + (3.14)^2}{27} = \frac{9.42 + 9.86}{27} = \frac{19.28}{27} \approx 0.714$
Диапазон $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ примерно равен $[-1.57; 1.57]$.
Поскольку $-1.57 \le 0.714 \le 1.57$, найденное значение для $\arcsin x$ является допустимым.
Тогда решение для $x$ имеет вид:
$x = \sin(\frac{3\pi + \pi^2}{27})$
Ответ: $x = \sin(\frac{3\pi + \pi^2}{27})$.

4) Дано уравнение $3arctg^2 x - 4\pi arctg x + \pi^2 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $arctg x$. Сделаем замену $y = arctg x$:
$3y^2 - 4\pi y + \pi^2 = 0$
Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта.
$D = (-4\pi)^2 - 4 \cdot 3 \cdot \pi^2 = 16\pi^2 - 12\pi^2 = 4\pi^2 = (2\pi)^2$
Корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{4\pi + \sqrt{4\pi^2}}{2 \cdot 3} = \frac{4\pi + 2\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} = \pi$
$y_2 = \frac{4\pi - \sqrt{4\pi^2}}{2 \cdot 3} = \frac{4\pi - 2\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$
Вернемся к замене $y = arctg x$.
1. $arctg x = \pi$
Область значений функции арктангенс - это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Поскольку $\pi$ не принадлежит этому интервалу, это уравнение не имеет решений.
2. $arctg x = \frac{\pi}{3}$
Значение $\frac{\pi}{3}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, так что решение существует.
$x = tg(\frac{\pi}{3})$
$x = \sqrt{3}$
Ответ: $x = \sqrt{3}$.