Номер 3.55, страница 95 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.55. 1) $\arccos \frac{x}{2} = 2\arctan (x-1)$;

2) $\arccos x - \pi = \arcsin \frac{4x}{3}$;

3) $\arctan 2x + \arctan 3x = \frac{3\pi}{4}$;

4) $\arcsin x + \arccos (x-1) = \pi$.

1) $\arccos{\frac{x}{2}}=2\arctg{(x-1)}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Аргумент арккосинуса должен быть в пределах от -1 до 1:
$-1 \le \frac{x}{2} \le 1 \implies -2 \le x \le 2$.
Область значений функции арккосинус: $0 \le \arccos{\frac{x}{2}} \le \pi$.
Область значений функции арктангенс: $-\frac{\pi}{2} < \arctg{(x-1)} < \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, область значений правой части уравнения: $-\pi < 2\arctg{(x-1)} < \pi$.
Чтобы равенство выполнялось, значения обеих частей должны совпадать, поэтому:
$0 \le 2\arctg{(x-1)} \le \pi \implies 0 \le \arctg{(x-1)} \le \frac{\pi}{2}$.
Так как тангенс — возрастающая функция на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, то:
$\tg(0) \le x-1 \implies 0 \le x-1 \implies x \ge 1$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in [1, 2]$.

Возьмем косинус от обеих частей уравнения:
$\cos(\arccos{\frac{x}{2}}) = \cos(2\arctg{(x-1)})$.
$\frac{x}{2} = \cos(2\alpha)$, где $\alpha = \arctg(x-1)$. Отсюда $\tg\alpha = x-1$.
Используем формулу косинуса двойного угла через тангенс: $\cos(2\alpha) = \frac{1-\tg^2\alpha}{1+\tg^2\alpha}$.
Подставляем $\tg\alpha = x-1$:
$\frac{x}{2} = \frac{1-(x-1)^2}{1+(x-1)^2} = \frac{1-(x^2-2x+1)}{1+(x^2-2x+1)} = \frac{-x^2+2x}{x^2-2x+2}$.
$x(x^2-2x+2) = 2(-x^2+2x)$.
$x^3 - 2x^2 + 2x = -2x^2 + 4x$.
$x^3 - 2x = 0$.
$x(x^2-2) = 0$.
Корни уравнения: $x_1=0$, $x_2=\sqrt{2}$, $x_3=-\sqrt{2}$.

Проверим корни на принадлежность ОДЗ $x \in [1, 2]$.
$x_1=0$ не принадлежит ОДЗ.
$x_3=-\sqrt{2}$ не принадлежит ОДЗ.
$x_2=\sqrt{2} \approx 1.414$, принадлежит ОДЗ.

Ответ: $x=\sqrt{2}$.

2) $\arccos{x}-\pi = \arcsin{\frac{4x}{3}}$

Найдем ОДЗ:
Для $\arccos{x}$: $-1 \le x \le 1$.
Для $\arcsin{\frac{4x}{3}}$: $-1 \le \frac{4x}{3} \le 1 \implies -\frac{3}{4} \le x \le \frac{3}{4}$.
Общее ОДЗ: $x \in [-\frac{3}{4}, \frac{3}{4}]$.

Оценим области значений левой и правой частей уравнения.
Левая часть: $0 \le \arccos{x} \le \pi \implies -\pi \le \arccos{x}-\pi \le 0$.
Правая часть: $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin{\frac{4x}{3}} \le \frac{\pi}{2}$.
Для выполнения равенства значение обеих частей должно лежать в пересечении этих диапазонов, то есть в $[-\frac{\pi}{2}, 0]$.
Из условия $\arcsin{\frac{4x}{3}} \le 0$ следует, что $\frac{4x}{3} \le 0$, то есть $x \le 0$.
С учетом ОДЗ получаем: $x \in [-\frac{3}{4}, 0]$.

Преобразуем уравнение: $\arccos{x} = \pi + \arcsin{\frac{4x}{3}}$.
Возьмем косинус от обеих частей:
$\cos(\arccos{x}) = \cos(\pi + \arcsin{\frac{4x}{3}})$.
$x = -\cos(\arcsin{\frac{4x}{3}})$.
Используем тождество $\cos(\arcsin{u}) = \sqrt{1-u^2}$ (справедливо, т.к. $\arcsin u \in [-\pi/2, \pi/2]$).
$x = -\sqrt{1 - (\frac{4x}{3})^2} = -\sqrt{1 - \frac{16x^2}{9}}$.
Поскольку $x \le 0$, а правая часть всегда неположительна, это преобразование корректно. Возведем обе части в квадрат:
$x^2 = 1 - \frac{16x^2}{9}$.
$x^2 + \frac{16x^2}{9} = 1$.
$\frac{9x^2+16x^2}{9} = 1 \implies \frac{25x^2}{9} = 1$.
$x^2 = \frac{9}{25} \implies x = \pm\frac{3}{5}$.

Проверяем корни с учетом условия $x \in [-\frac{3}{4}, 0]$.
$x = \frac{3}{5}$ не подходит.
$x = -\frac{3}{5}$ подходит, так как $-\frac{3}{4} = -0.75$, а $-\frac{3}{5} = -0.6$.

Ответ: $x=-\frac{3}{5}$.

3) $\arctg{2x} + \arctg{3x} = \frac{3\pi}{4}$

ОДЗ для арктангенса - все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.
Правая часть уравнения положительна ($\frac{3\pi}{4} > 0$). Сумма арктангенсов положительна, только если хотя бы один из аргументов положителен. Если $x < 0$, то $2x < 0$ и $3x < 0$, и оба арктангенса будут отрицательными, их сумма тоже будет отрицательной. Если $x=0$, то сумма равна 0. Следовательно, $x > 0$.

Возьмем тангенс от обеих частей уравнения, используя формулу тангенса суммы $\tg(\alpha+\beta) = \frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}$.
$\tg(\arctg{2x} + \arctg{3x}) = \tg(\frac{3\pi}{4})$.
$\frac{\tg(\arctg{2x})+\tg(\arctg{3x})}{1-\tg(\arctg{2x})\tg(\arctg{3x})} = -1$.
$\frac{2x+3x}{1-(2x)(3x)} = -1$.
$\frac{5x}{1-6x^2} = -1$.
$5x = -(1-6x^2) = -1+6x^2$.
$6x^2 - 5x - 1 = 0$.
Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-5)^2 - 4(6)(-1) = 25+24=49=7^2$.
$x_1 = \frac{5-7}{2 \cdot 6} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$.
$x_2 = \frac{5+7}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1$.

Согласно выводу, сделанному ранее, $x$ должен быть положительным. Поэтому корень $x_1 = -\frac{1}{6}$ является посторонним.
Проверим корень $x=1$:
$\arctg(2) + \arctg(3)$. Так как $2 > 1$ и $3 > 1$, то $\arctg(2) > \frac{\pi}{4}$ и $\arctg(3) > \frac{\pi}{4}$. Их сумма больше, чем $\frac{\pi}{2}$.
При взятии тангенса мы могли получить посторонние корни. Проверка по формуле суммы арктангенсов: $\arctg a + \arctg b = \pi + \arctg(\frac{a+b}{1-ab})$ при $a>0, b>0, ab>1$.
Для $x=1$, имеем $a=2, b=3$. $ab = 6 > 1$.
$\arctg(2) + \arctg(3) = \pi + \arctg(\frac{2+3}{1-2 \cdot 3}) = \pi + \arctg(\frac{5}{-5}) = \pi + \arctg(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Равенство выполняется.

Ответ: $x=1$.

4) $\arcsin{x} + \arccos{(x-1)} = \pi$

Найдем ОДЗ:
Для $\arcsin{x}$: $-1 \le x \le 1$.
Для $\arccos{(x-1)}$: $-1 \le x-1 \le 1 \implies 0 \le x \le 2$.
Общее ОДЗ: $x \in [0, 1]$.

Преобразуем уравнение: $\arccos{(x-1)} = \pi - \arcsin{x}$.
Возьмем косинус от обеих частей:
$\cos(\arccos{(x-1)}) = \cos(\pi - \arcsin{x})$.
$x-1 = -\cos(\arcsin{x})$.
Используем тождество $\cos(\arcsin{x}) = \sqrt{1-x^2}$ (справедливо, т.к. $x \in [-1,1]$):
$x-1 = -\sqrt{1-x^2}$.
Левая часть $x-1$ на ОДЗ $[0,1]$ принимает значения от $-1$ до $0$. Правая часть $-\sqrt{1-x^2}$ на ОДЗ $[0,1]$ также принимает значения от $-1$ до $0$. Преобразование корректно.
Возведем обе части в квадрат:
$(x-1)^2 = (-\sqrt{1-x^2})^2$.
$x^2-2x+1 = 1-x^2$.
$2x^2-2x=0$.
$2x(x-1)=0$.
Получаем два корня: $x_1=0$ и $x_2=1$.

Оба корня принадлежат ОДЗ $x \in [0, 1]$. Проверим их подстановкой в исходное уравнение.
При $x=0$:
$\arcsin(0) + \arccos(0-1) = \arcsin(0) + \arccos(-1) = 0 + \pi = \pi$. Верно.
При $x=1$:
$\arcsin(1) + \arccos(1-1) = \arcsin(1) + \arccos(0) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$. Верно.

Ответ: $x=0, x=1$.