Номер 3.62, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.62. При каких значениях параметра $a$ сумма квадратов корней квадратного трехчлена $x^2 - (a - 2)x - (a - 1)$ принимает наименьшее значение?

Рассмотрим заданный квадратный трехчлен $x^2 - (a-2)x - (a-1)$.

Для того чтобы у квадратного трехчлена существовали действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным. Найдем дискриминант для уравнения $x^2 - (a-2)x - (a-1) = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-(a-2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(a-1)) = (a-2)^2 + 4(a-1) = a^2 - 4a + 4 + 4a - 4 = a^2$.

Условие существования корней $D \ge 0$ принимает вид $a^2 \ge 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного значения параметра $a$. Следовательно, квадратный трехчлен имеет действительные корни при любом $a \in \mathbb{R}$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного квадратного трехчлена. Согласно теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ сумма корней равна $x_1+x_2 = -p$, а произведение корней равно $x_1x_2=q$. В нашем случае коэффициенты равны $p = -(a-2)$ и $q = -(a-1)$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-(a-2)) = a-2$.

Произведение корней: $x_1 x_2 = -(a-1) = 1-a$.

Нам необходимо найти значение параметра $a$, при котором сумма квадратов корней $S = x_1^2 + x_2^2$ принимает наименьшее значение. Выразим $S$ через сумму и произведение корней:

$S = x_1^2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Теперь подставим выражения для суммы и произведения корней, чтобы выразить $S$ как функцию от параметра $a$:

$S(a) = (a-2)^2 - 2(1-a) = (a^2 - 4a + 4) - 2 + 2a = a^2 - 2a + 2$.

Мы получили, что сумма квадратов корней является квадратичной функцией от параметра $a$: $S(a) = a^2 - 2a + 2$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $a^2$ положителен ($1 > 0$). Следовательно, эта функция принимает свое наименьшее значение в вершине параболы.

Координату вершины параболы $y = Ax^2+Bx+C$ можно найти по формуле $x_0 = -B/(2A)$. В нашем случае для функции $S(a) = a^2 - 2a + 2$ имеем $A=1$, $B=-2$, $C=2$.

Найдем значение $a$, при котором $S(a)$ минимально:

$a = -(-2) / (2 \cdot 1) = 2/2 = 1$.

Также можно найти минимум, выделив полный квадрат:

$S(a) = a^2 - 2a + 2 = (a^2 - 2a + 1) + 1 = (a-1)^2 + 1$.

Выражение $(a-1)^2$ всегда неотрицательно, его наименьшее значение равно 0. Это значение достигается при $a-1=0$, то есть при $a=1$. При этом наименьшее значение функции $S(a)$ будет равно $S(1) = (1-1)^2 + 1 = 1$.

Таким образом, сумма квадратов корней принимает наименьшее значение при $a=1$.

Ответ: $a=1$.