Номер 3.66, страница 102 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.66. 1) $\sin 2x < \frac{1}{2}$;

2) $\cos \frac{x}{3} > \frac{\sqrt{3}}{2}$;

3) $\sin \frac{x}{2} < -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

4) $\tan 5x > 1$;

5) $\sqrt{2}\sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) < 1$;

6) $\sqrt{3}\tan \left(3x + \frac{\pi}{6}\right) < 1$.

1) Решим неравенство $sin(2x) < \frac{1}{2}$.

Сделаем замену $t = 2x$. Неравенство примет вид $sin(t) < \frac{1}{2}$.

На единичной окружности значения синуса соответствуют ординате (координате y) точки. Неравенство $sin(t) < \frac{1}{2}$ выполняется для углов $t$, точки которых на окружности лежат ниже прямой $y = \frac{1}{2}$.

Найдем углы, для которых $sin(t) = \frac{1}{2}$. Это $t_1 = \frac{\pi}{6}$ и $t_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Следовательно, решение для $t$ с учетом периодичности функции синус ($2\pi$) можно записать в виде двойного неравенства: $\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi(n+1)$, что можно переписать как $-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Выполним обратную замену $t = 2x$: $-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < 2x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

Разделим все части неравенства на 2, чтобы выразить $x$:

$-\frac{7\pi}{12} + \pi n < x < \frac{\pi}{12} + \pi n$.

Ответ: $x \in (-\frac{7\pi}{12} + \pi n; \frac{\pi}{12} + \pi n)$, $n \in Z$.

2) Решим неравенство $cos\frac{x}{3} > \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сделаем замену $t = \frac{x}{3}$. Неравенство примет вид $cos(t) > \frac{\sqrt{3}}{2}$.

На единичной окружности значения косинуса соответствуют абсциссе (координате x) точки. Неравенство $cos(t) > \frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется для углов $t$, точки которых на окружности лежат правее прямой $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем углы, для которых $cos(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это $t_1 = \frac{\pi}{6}$ и $t_2 = -\frac{\pi}{6}$.

С учетом периодичности функции косинус ($2\pi$), решение для $t$: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Выполним обратную замену $t = \frac{x}{3}$: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < \frac{x}{3} < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

Умножим все части неравенства на 3, чтобы выразить $x$:

$-\frac{3\pi}{6} + 6\pi n < x < \frac{3\pi}{6} + 6\pi n$, что упрощается до $-\frac{\pi}{2} + 6\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 6\pi n$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + 6\pi n; \frac{\pi}{2} + 6\pi n)$, $n \in Z$.

3) Решим неравенство $sin\frac{x}{2} < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сделаем замену $t = \frac{x}{2}$. Неравенство примет вид $sin(t) < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

На единичной окружности неравенство $sin(t) < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется для углов $t$, точки которых на окружности лежат ниже прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем углы, для которых $sin(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это $t_1 = -\frac{\pi}{3}$ и $t_2 = \pi - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3}$, что эквивалентно $-\frac{2\pi}{3}$.

Решение для $t$ с учетом периодичности: $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < t < -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Выполним обратную замену $t = \frac{x}{2}$: $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < \frac{x}{2} < -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Умножим все части неравенства на 2:

$-\frac{4\pi}{3} + 4\pi n < x < -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n$.

Ответ: $x \in (-\frac{4\pi}{3} + 4\pi n; -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n)$, $n \in Z$.

4) Решим неравенство $tg(5x) > 1$.

Сделаем замену $t = 5x$. Неравенство примет вид $tg(t) > 1$.

Функция $y = tg(t)$ является возрастающей на каждом интервале своей области определения $(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$.

Найдем угол, для которого $tg(t) = 1$. Это $t = \frac{\pi}{4}$.

Неравенство $tg(t) > 1$ выполняется для углов $t$ от $\frac{\pi}{4}$ до ближайшей правой вертикальной асимптоты $t = \frac{\pi}{2}$.

С учетом периодичности функции тангенс ($\pi$), решение для $t$: $\frac{\pi}{4} + \pi n < t < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.

Выполним обратную замену $t = 5x$: $\frac{\pi}{4} + \pi n < 5x < \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Разделим все части неравенства на 5:

$\frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5} < x < \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}; \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5})$, $n \in Z$.

5) Решим неравенство $\sqrt{2}sin(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) < 1$.

Разделим обе части на $\sqrt{2}$: $sin(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) < \frac{1}{\sqrt{2}}$, или $sin(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Сделаем замену $t = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}$. Неравенство примет вид $sin(t) < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдем углы, для которых $sin(t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это $t_1 = \frac{\pi}{4}$ и $t_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Решение для $t$ с учетом периодичности: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{4} + 2\pi(n+1)$, что можно переписать как $-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Выполним обратную замену $t = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}$: $-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n < \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} < \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей: $-\frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, что дает $-\frac{6\pi}{4} + 2\pi n < \frac{x}{2} < 2\pi n$, или $-\frac{3\pi}{2} + 2\pi n < \frac{x}{2} < 2\pi n$.

Умножим все части на 2: $-3\pi + 4\pi n < x < 4\pi n$.

Ответ: $x \in (-3\pi + 4\pi n; 4\pi n)$, $n \in Z$.

6) Решим неравенство $\sqrt{3}tg(3x + \frac{\pi}{6}) < 1$.

Разделим обе части на $\sqrt{3}$: $tg(3x + \frac{\pi}{6}) < \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Сделаем замену $t = 3x + \frac{\pi}{6}$. Неравенство примет вид $tg(t) < \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Функция $y = tg(t)$ является возрастающей. Найдем угол, для которого $tg(t) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Это $t = \frac{\pi}{6}$.

Неравенство $tg(t) < \frac{1}{\sqrt{3}}$ выполняется для углов $t$ от левой вертикальной асимптоты $t = -\frac{\pi}{2}$ до $t = \frac{\pi}{6}$.

С учетом периодичности функции тангенс, решение для $t$: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in Z$.

Выполним обратную замену $t = 3x + \frac{\pi}{6}$: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < 3x + \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{6} + \pi n$.

Вычтем $\frac{\pi}{6}$ из всех частей: $-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \pi n < 3x < \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + \pi n$, что дает $-\frac{4\pi}{6} + \pi n < 3x < \pi n$, или $-\frac{2\pi}{3} + \pi n < 3x < \pi n$.

Разделим все части на 3: $-\frac{2\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} < x < \frac{\pi n}{3}$.

Ответ: $x \in (-\frac{2\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}; \frac{\pi n}{3})$, $n \in Z$.