Номер 3.68, страница 102 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.68. Найдите решения неравенств, лежащие на указанном промежутке:

1) $\sin x \ge -\frac{1}{2}$, $x \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6}\right)$;

2) $\cos \frac{x}{2} > \frac{\sqrt{3}}{2}$, $x \in \left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$;

3) $\text{tg } x \ge -1$, $x \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{4}\right)$;

4) $\sin 2x < \frac{\sqrt{2}}{2}$, $x \in \left[0; \pi\right]$.

1) Решим неравенство $ \sin x \ge -\frac{1}{2} $ на промежутке $ x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6}) $.

Сначала найдем общее решение неравенства. Для этого решим уравнение $ \sin x = -\frac{1}{2} $. Корнями этого уравнения являются $ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $ и $ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Неравенству $ \sin x \ge -\frac{1}{2} $ удовлетворяют значения $x$, для которых соответствующая точка на единичной окружности лежит на дуге от $ -\frac{\pi}{6} $ до $ \frac{7\pi}{6} $ (при обходе против часовой стрелки). Таким образом, общее решение неравенства имеет вид: $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi k $.

Теперь найдем пересечение этого множества решений с заданным промежутком $ x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6}) $.

При $ k=0 $ получаем промежуток $ [-\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}] $.Найдем пересечение $ [-\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}] \cap (-\frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6}) $.
Поскольку $ -\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{6} $, пересечение начинается с $ -\frac{\pi}{6} $. Правая граница заданного промежутка $ \frac{7\pi}{6} $ не включена, поэтому и в итоговом решении она будет не включена.

Получаем промежуток $ [-\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}) $.

При других целых значениях $k$ интервалы решений не будут пересекаться с заданным промежутком.

Ответ: $ x \in [-\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}) $.

2) Решим неравенство $ \cos \frac{x}{2} > \frac{\sqrt{3}}{2} $ на промежутке $ x \in [-\frac{\pi}{2}; 0] $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \frac{x}{2} $. Тогда неравенство примет вид $ \cos t > \frac{\sqrt{3}}{2} $.Найдем, какому промежутку принадлежит переменная $t$. Если $ -\frac{\pi}{2} \le x \le 0 $, то, разделив на 2, получим $ -\frac{\pi}{4} \le \frac{x}{2} \le 0 $. Таким образом, $ t \in [-\frac{\pi}{4}; 0] $.

Найдем общее решение неравенства $ \cos t > \frac{\sqrt{3}}{2} $. Уравнение $ \cos t = \frac{\sqrt{3}}{2} $ имеет решения $ t = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k $. Неравенству удовлетворяют значения $t$, лежащие в интервале $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi k $.

Найдем пересечение этого решения с промежутком $ t \in [-\frac{\pi}{4}; 0] $.При $ k=0 $ получаем интервал $ (-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}) $.Пересечение $ (-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}) \cap [-\frac{\pi}{4}; 0] $ дает нам $ (-\frac{\pi}{6}; 0] $.

Итак, мы получили решение для $t$: $ -\frac{\pi}{6} < t \le 0 $.Сделаем обратную замену $ t = \frac{x}{2} $:$ -\frac{\pi}{6} < \frac{x}{2} \le 0 $.Умножим все части неравенства на 2:$ -\frac{\pi}{3} < x \le 0 $.

Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{3}; 0] $.

3) Решим неравенство $ \operatorname{tg} x \ge -1 $ на промежутке $ x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{4}) $.

Область определения тангенса $ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k $. Функция $ \operatorname{tg} x $ является возрастающей на каждом интервале области определения.Сначала решим уравнение $ \operatorname{tg} x = -1 $. Его решения: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Общее решение неравенства $ \operatorname{tg} x \ge -1 $, учитывая область определения, имеет вид: $ -\frac{\pi}{4} + \pi k \le x < \frac{\pi}{2} + \pi k $.

Найдем пересечение этого множества решений с заданным промежутком $ x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{4}) $.

При $ k=0 $ получаем промежуток $ [-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}) $.Найдем пересечение $ [-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}) \cap (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{4}) $.Левая граница пересечения $ -\frac{\pi}{4} $ (включительно). Правая граница $ \frac{\pi}{4} $ (не включительно).Получаем промежуток $ [-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}) $.

При других целых $k$ решения не попадают в заданный промежуток.

Ответ: $ x \in [-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}) $.

4) Решим неравенство $ \sin 2x < \frac{\sqrt{2}}{2} $ на промежутке $ x \in [0; \pi] $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 2x $. Неравенство примет вид $ \sin t < \frac{\sqrt{2}}{2} $.Новый промежуток для $t$: если $ 0 \le x \le \pi $, то $ 0 \le 2x \le 2\pi $. Таким образом, $ t \in [0; 2\pi] $.

Решим неравенство $ \sin t < \frac{\sqrt{2}}{2} $ на промежутке $ t \in [0; 2\pi] $.Корни уравнения $ \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2} $ на этом промежутке: $ t = \frac{\pi}{4} $ и $ t = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $.Неравенству $ \sin t < \frac{\sqrt{2}}{2} $ удовлетворяют значения $t$, для которых точка на единичной окружности имеет ординату меньше $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.На промежутке $ [0; 2\pi] $ это два интервала: $ [0; \frac{\pi}{4}) $ и $ (\frac{3\pi}{4}; 2\pi] $.Таким образом, решение для $t$: $ t \in [0; \frac{\pi}{4}) \cup (\frac{3\pi}{4}; 2\pi] $.

Теперь сделаем обратную замену $ t = 2x $:1) $ 0 \le t < \frac{\pi}{4} \implies 0 \le 2x < \frac{\pi}{4} \implies 0 \le x < \frac{\pi}{8} $.2) $ \frac{3\pi}{4} < t \le 2\pi \implies \frac{3\pi}{4} < 2x \le 2\pi \implies \frac{3\pi}{8} < x \le \pi $.

Объединяя эти два промежутка, получаем окончательное решение.

Ответ: $ x \in [0; \frac{\pi}{8}) \cup (\frac{3\pi}{8}; \pi] $.