Номер 3.64, страница 101 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 3.64–3.67 решите неравенства.

3. 64.

1) $ \sin x \ge \frac{1}{2}; $

2) $ \cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2}; $

3) $ \operatorname{tg} x > -\frac{1}{\sqrt{3}}; $

4) $ \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2}; $

5) $ \cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}; $

6) $ \operatorname{ctg} x \le \sqrt{3}. $

1)Решим неравенство $ \sin x \ge \frac{1}{2} $.
Сначала найдем корни уравнения $ \sin x = \frac{1}{2} $. На тригонометрической окружности этому значению соответствуют углы $ x_1 = \frac{\pi}{6} $ и $ x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.
Неравенству $ \sin x \ge \frac{1}{2} $ соответствуют точки на единичной окружности, ордината (координата y) которых больше или равна $ \frac{1}{2} $. Эти точки лежат на дуге, заключенной между точками, соответствующими углам $ \frac{\pi}{6} $ и $ \frac{5\pi}{6} $.
Учитывая периодичность синуса (период $ 2\pi $), общее решение неравенства можно записать в виде двойного неравенства.

Ответ: $ x \in [\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z} $.

2)Решим неравенство $ \cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Находим корни уравнения $ \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Это углы $ x_1 = \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6} $ и $ x_2 = 2\pi - \frac{5\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} $.
Неравенству $ \cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2} $ соответствуют точки на единичной окружности, абсцисса (координата x) которых меньше $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Эти точки лежат на дуге между точками, соответствующими углам $ \frac{5\pi}{6} $ и $ \frac{7\pi}{6} $.
С учетом периода косинуса $ 2\pi $, получаем общее решение.

Ответ: $ x \in (\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z} $.

3)Решим неравенство $ \text{tg} \, x > -\frac{1}{\sqrt{3}} $.
Сначала решим уравнение $ \text{tg} \, x = -\frac{1}{\sqrt{3}} $. Корень этого уравнения $ x = \text{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6} $.
Функция тангенса определена для $ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n $. Период тангенса равен $ \pi $. Рассмотрим решение на интервале $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $. На этом интервале $ \text{tg} \, x $ возрастает, поэтому решение неравенства $ \text{tg} \, x > -\frac{1}{\sqrt{3}} $ есть интервал $ (-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}) $.
Добавляя период $ \pi n $, получаем общее решение.

Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z} $.

4)Решим неравенство $ \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Решим уравнение $ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Корни: $ x_1 = \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4} $ и $ x_2 = \pi - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{5\pi}{4} $. Удобнее взять второй корень как $ x_2 = -\pi - \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} $.
На единичной окружности неравенству $ \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} $ соответствуют точки с ординатой меньше $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Эти точки находятся на дуге между $ -\frac{3\pi}{4} $ и $ -\frac{\pi}{4} $.
Учитывая периодичность, записываем общее решение.

Ответ: $ x \in (-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, -\frac{\pi}{4} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z} $.

5)Решим неравенство $ \cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Находим корни уравнения $ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} $. На промежутке $ [-\pi, \pi] $ это углы $ x_1 = -\frac{\pi}{4} $ и $ x_2 = \frac{\pi}{4} $.
Неравенству $ \cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2} $ соответствуют точки единичной окружности, абсцисса которых больше или равна $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Эти точки образуют дугу от $ -\frac{\pi}{4} $ до $ \frac{\pi}{4} $.
Общее решение получаем, прибавляя период $ 2\pi n $.

Ответ: $ x \in [-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z} $.

6)Решим неравенство $ \text{ctg} \, x \le \sqrt{3} $.
Решаем уравнение $ \text{ctg} \, x = \sqrt{3} $. Корень этого уравнения $ x = \text{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6} $.
Функция котангенса определена для $ x \ne \pi n $. Период котангенса равен $ \pi $. Рассмотрим решение на интервале $ (0, \pi) $. На этом интервале $ \text{ctg} \, x $ убывает. Решением неравенства $ \text{ctg} \, x \le \sqrt{3} $ будет промежуток $ [\frac{\pi}{6}, \pi) $.
Добавляя период $ \pi n $, получаем общее решение.

Ответ: $ x \in [\frac{\pi}{6} + \pi n, \pi + \pi n), n \in \mathbb{Z} $.