Номер 3.60, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.60. Решите уравнение при любом значении параметра $a$:

1) $\arcsin x = 2\arcsin a$;

2) $\arccos x = \arcsin 2a$.

1) Решим уравнение $ \arcsin x = 2 \arcsin a $.

Во-первых, определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменных $x$ и $a$.
Функция $ \arcsin $ определена для аргументов в отрезке $ [-1, 1] $, поэтому:
$ -1 \le x \le 1 $
$ -1 \le a \le 1 $
Область значений функции $ \arcsin $ — это отрезок $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Следовательно, левая часть уравнения $ \arcsin x $ принадлежит этому отрезку. Значит, и правая часть должна принадлежать этому же отрезку:
$ -\frac{\pi}{2} \le 2 \arcsin a \le \frac{\pi}{2} $
Разделим неравенство на 2:
$ -\frac{\pi}{4} \le \arcsin a \le \frac{\pi}{4} $
Так как функция $ \sin $ возрастает на отрезке $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, мы можем применить ее ко всем частям неравенства, сохранив знаки:
$ \sin(-\frac{\pi}{4}) \le a \le \sin(\frac{\pi}{4}) $
$ -\frac{\sqrt{2}}{2} \le a \le \frac{\sqrt{2}}{2} $
Таким образом, уравнение может иметь решение только при $ a \in [-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}] $. Если $ a $ не принадлежит этому отрезку, решений нет.

Теперь найдем $x$. Возьмем синус от обеих частей исходного уравнения:
$ \sin(\arcsin x) = \sin(2 \arcsin a) $
$ x = \sin(2 \arcsin a) $
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $. Пусть $ \alpha = \arcsin a $, тогда $ \sin\alpha = a $.
Нам нужно найти $ \cos\alpha = \cos(\arcsin a) $. Из основного тригонометрического тождества $ \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 $ следует, что $ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - a^2 $.
Поскольку $ \alpha = \arcsin a $ находится в диапазоне $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, косинус этого угла неотрицателен, т.е. $ \cos\alpha \ge 0 $.
Следовательно, $ \cos(\arcsin a) = \sqrt{1 - a^2} $.
Подставляем в выражение для $x$:
$ x = 2 \sin(\arcsin a) \cos(\arcsin a) = 2a\sqrt{1-a^2} $
Это выражение является решением уравнения при выполнении найденного ранее условия на параметр $a$.

Ответ: если $ a \in [-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}] $, то $ x = 2a\sqrt{1 - a^2} $; если $ a \notin [-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}] $, то решений нет.

2) Решим уравнение $ \arccos x = \arcsin(2a) $.

Определим ОДЗ для $x$ и $a$.
$ -1 \le x \le 1 $
$ -1 \le 2a \le 1 $, что эквивалентно $ -\frac{1}{2} \le a \le \frac{1}{2} $.
Теперь рассмотрим области значений функций.
Область значений $ \arccos x $ — это отрезок $ [0, \pi] $.
Область значений $ \arcsin(2a) $ — это отрезок $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $.
Для того чтобы равенство было возможным, значение обеих частей должно лежать в пересечении этих отрезков: $ [0, \pi] \cap [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] = [0, \frac{\pi}{2}] $.
Следовательно, должно выполняться условие:
$ 0 \le \arcsin(2a) \le \frac{\pi}{2} $
Применим возрастающую на этом промежутке функцию $ \sin $:
$ \sin(0) \le 2a \le \sin(\frac{\pi}{2}) $
$ 0 \le 2a \le 1 $
$ 0 \le a \le \frac{1}{2} $
Уравнение имеет решение только при $ a \in [0, \frac{1}{2}] $.

Для нахождения $x$ возьмем косинус от обеих частей уравнения:
$ \cos(\arccos x) = \cos(\arcsin(2a)) $
$ x = \cos(\arcsin(2a)) $
Пусть $ \beta = \arcsin(2a) $. Тогда $ \sin\beta = 2a $. Из условия $ a \in [0, \frac{1}{2}] $ следует, что $ \beta \in [0, \frac{\pi}{2}] $.
Найдем $ \cos\beta $ из основного тригонометрического тождества: $ \cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta = 1 - (2a)^2 = 1 - 4a^2 $.
Так как $ \beta \in [0, \frac{\pi}{2}] $, то $ \cos\beta \ge 0 $.
Следовательно, $ \cos\beta = \sqrt{1 - 4a^2} $.
Таким образом, $ x = \sqrt{1 - 4a^2} $.

Ответ: если $ a \in [0, \frac{1}{2}] $, то $ x = \sqrt{1 - 4a^2} $; если $ a \notin [0, \frac{1}{2}] $, то решений нет.