Номер 3.57, страница 95 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.57. 1) $ \arcsin x = \arccos \sqrt{1-x^2} $

2) $ \arccos x = \pi - \arcsin \sqrt{1-x^2} $

3) $ \arccos x = \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} $

4) $ \arcsin(2x\sqrt{1-x^2}) = \arccos(2x^2 - 1) $

1) $\arcsin x = \arccos\sqrt{1-x^2}$

Чтобы доказать это тождество, мы определим область допустимых значений (ОДЗ) и затем докажем равенство для этой области.

Определение ОДЗ:
1. Для функции $\arcsin x$, ОДЗ: $x \in [-1, 1]$.
2. Для функции $\arccos\sqrt{1-x^2}$, аргумент $\sqrt{1-x^2}$ должен быть в промежутке $[-1, 1]$.
- Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $1 - x^2 \ge 0$, что означает $x^2 \le 1$, или $x \in [-1, 1]$.
- Сам корень всегда неотрицателен, поэтому $\sqrt{1-x^2} \ge 0$.
- Также нужно проверить, что $\sqrt{1-x^2} \le 1$. Возведя в квадрат, получаем $1 - x^2 \le 1$, что дает $-x^2 \le 0$ или $x^2 \ge 0$. Это верно для любого $x$.
Таким образом, ОДЗ для обеих частей уравнения совпадает: $x \in [-1, 1]$.

Анализ области значений:
- Область значений функции $\arcsin x$ есть $[-\pi/2, \pi/2]$.
- Область значений функции $\arccos y$ есть $[0, \pi]$. Так как аргумент $y = \sqrt{1-x^2} \ge 0$, то область значений правой части есть $[0, \pi/2]$.
Равенство может выполняться только тогда, когда значения обеих частей неотрицательны. Для левой части, $\arcsin x \ge 0$, это означает, что $x \in [0, 1]$. Следовательно, тождество может быть верным только для $x \in [0, 1]$.

Доказательство для $x \in [0, 1]$:
Пусть $y = \arcsin x$. По определению, это означает, что $\sin y = x$ и $y \in [0, \pi/2]$ (поскольку мы рассматриваем $x \in [0, 1]$).

Нам нужно показать, что $y = \arccos\sqrt{1-x^2}$. Это эквивалентно тому, чтобы показать, что $\cos y = \sqrt{1-x^2}$.

Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$.
Отсюда, $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y = 1 - x^2$.
Так как $y \in [0, \pi/2]$, то $\cos y$ неотрицателен. Следовательно, $\cos y = \sqrt{1-x^2}$.

Поскольку $\cos y = \sqrt{1-x^2}$ и $y \in [0, \pi/2]$ (что является подмножеством области значений арккосинуса $[0, \pi]$), мы можем заключить, что $y = \arccos\sqrt{1-x^2}$.

Таким образом, мы доказали, что $\arcsin x = \arccos\sqrt{1-x^2}$ для $x \in [0, 1]$.
Замечание: Для $x \in [-1, 0)$, тождество неверно. Например, для $x=-1/2$, $\arcsin(-1/2) = -\pi/6$, а $\arccos\sqrt{1 - (-1/2)^2} = \arccos(\sqrt{3}/2) = \pi/6$.

Ответ: Тождество верно при $x \in [0, 1]$.

2) $\arccos x = \pi - \arcsin\sqrt{1-x^2}$

Определение ОДЗ:
1. Для $\arccos x$, ОДЗ: $x \in [-1, 1]$.
2. Для $\arcsin\sqrt{1-x^2}$, как и в предыдущем пункте, ОДЗ: $x \in [-1, 1]$.
Общая ОДЗ: $x \in [-1, 1]$.

Анализ области значений:
- Область значений $\arccos x$ есть $[0, \pi]$.
- Аргумент арксинуса $\sqrt{1-x^2}$ принимает значения в $[0, 1]$. Следовательно, область значений $\arcsin\sqrt{1-x^2}$ есть $[0, \pi/2]$.
- Область значений правой части $\pi - \arcsin\sqrt{1-x^2}$ есть $[\pi - \pi/2, \pi - 0] = [\pi/2, \pi]$.
Равенство может выполняться, только если значение левой части $\arccos x$ находится в промежутке $[\pi/2, \pi]$. Это соответствует $x \in [-1, 0]$.

Доказательство для $x \in [-1, 0]$:
Пусть $y = \arccos x$. По определению, $\cos y = x$ и $y \in [\pi/2, \pi]$ (так как $x \in [-1, 0]$).

Рассмотрим правую часть тождества:
$\pi - \arcsin\sqrt{1-x^2} = \pi - \arcsin\sqrt{1-\cos^2 y}$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$, откуда $\sqrt{1-\cos^2 y} = \sqrt{\sin^2 y} = |\sin y|$.
Поскольку $y \in [\pi/2, \pi]$, $\sin y$ неотрицателен, поэтому $|\sin y| = \sin y$.

Правая часть становится равной $\pi - \arcsin(\sin y)$.
Для $y \in [\pi/2, \pi]$, справедливо тождество $\arcsin(\sin y) = \pi - y$.
Подставляя это в выражение, получаем: $\pi - (\pi - y) = y$.

Левая часть равна $y$, и правая часть равна $y$. Тождество доказано для $x \in [-1, 0]$.
Замечание: Для $x \in (0, 1]$, тождество неверно. Например, для $x=1/2$, $\arccos(1/2) = \pi/3$, а $\pi - \arcsin\sqrt{1 - (1/2)^2} = \pi - \arcsin(\sqrt{3}/2) = \pi - \pi/3 = 2\pi/3$.

Ответ: Тождество верно при $x \in [-1, 0]$.

3) $\arccos x = \operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$

Определение ОДЗ:
1. Для $\arccos x$, ОДЗ: $x \in [-1, 1]$.
2. Для $\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$, необходимо, чтобы $1-x^2 \ge 0$ (т.е. $x \in [-1, 1]$) и знаменатель $x \neq 0$.
Общая ОДЗ: $x \in [-1, 0) \cup (0, 1]$.

Анализ области значений:
- Область значений $\arccos x$ есть $[0, \pi]$.
- Область значений $\operatorname{arctg} z$ есть $(-\pi/2, \pi/2)$.
Равенство может выполняться, только если значение $\arccos x$ находится в промежутке $[0, \pi/2)$. Это соответствует $x \in (0, 1]$.

Доказательство для $x \in (0, 1]$:
Пусть $y = \arccos x$. Тогда $\cos y = x$ и $y \in [0, \pi/2)$ (поскольку $x \in (0, 1]$).

Нам нужно показать, что $y = \operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$. Это эквивалентно тому, чтобы показать, что $\operatorname{tg} y = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$.

Выразим $\operatorname{tg} y$ через $x$:
$\operatorname{tg} y = \frac{\sin y}{\cos y}$.
Мы знаем, что $\cos y = x$.
$\sin y = \sqrt{1-\cos^2 y} = \sqrt{1-x^2}$. Мы берем положительный корень, так как $y \in [0, \pi/2)$, где синус неотрицателен.
Следовательно, $\operatorname{tg} y = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$.

Поскольку $\operatorname{tg} y = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$ и $y \in [0, \pi/2)$, что полностью входит в область значений арктангенса $(-\pi/2, \pi/2)$, мы можем заключить, что $y = \operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$.

Геометрическая интерпретация для $x \in (0, 1)$:
Рассмотрим прямоугольный треугольник с углом $y$, прилежащим катетом $x$ и гипотенузой 1. Тогда противолежащий катет будет равен $\sqrt{1^2-x^2} = \sqrt{1-x^2}$.

Из этого треугольника:$\cos y = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{x}{1} = x \implies y = \arccos x$.
$\operatorname{tg} y = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \implies y = \operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$.
Оба выражения равны $y$, значит, они равны между собой.

Замечание: Для $x \in [-1, 0)$, тождество неверно. $\arccos x$ принимает значения из $(\pi/2, \pi]$, а $\operatorname{arctg}(\dots)$ — из $(-\pi/2, 0)$.

Ответ: Тождество верно при $x \in (0, 1]$.

4) $\arcsin(2x\sqrt{1-x^2}) = \arccos(2x^2-1)$

Определение ОДЗ:
1. Для $\arcsin(2x\sqrt{1-x^2})$: $1-x^2 \ge 0 \implies x \in [-1, 1]$. Аргумент $2x\sqrt{1-x^2}$ при $x=\sin\theta$ равен $\sin(2\theta)$, поэтому он всегда находится в $[-1, 1]$.
2. Для $\arccos(2x^2-1)$: $-1 \le 2x^2-1 \le 1 \implies 0 \le 2x^2 \le 2 \implies 0 \le x^2 \le 1 \implies x \in [-1, 1]$.
Общая ОДЗ: $x \in [-1, 1]$.

Анализ области значений:
- Область значений левой части, $\arcsin(\dots)$, есть $[-\pi/2, \pi/2]$.
- Область значений правой части, $\arccos(\dots)$, есть $[0, \pi]$.
Равенство может выполняться, только если значение обеих частей находится в пересечении этих областей, то есть в $[0, \pi/2]$.
- $\arcsin(2x\sqrt{1-x^2}) \in [0, \pi/2] \implies 2x\sqrt{1-x^2} \ge 0 \implies x \ge 0$.
- $\arccos(2x^2-1) \in [0, \pi/2] \implies 2x^2-1 \ge \cos(\pi/2)=0 \implies x^2 \ge 1/2$.
Из этих двух условий следует, что $x \ge 1/\sqrt{2}$. Тождество может быть верным только для $x \in [1/\sqrt{2}, 1]$.

Доказательство:
Сделаем замену $x = \cos\theta$. Так как $x \in [-1, 1]$, мы можем выбрать $\theta = \arccos x$, что означает $\theta \in [0, \pi]$.

Рассмотрим правую часть:
$\arccos(2x^2-1) = \arccos(2\cos^2\theta - 1) = \arccos(\cos(2\theta))$.
По свойству $\arccos(\cos\alpha)$, результат зависит от интервала, в котором находится $\alpha=2\theta$.

Рассмотрим левую часть:
$\arcsin(2x\sqrt{1-x^2}) = \arcsin(2\cos\theta\sqrt{1-\cos^2\theta}) = \arcsin(2\cos\theta|\sin\theta|)$.
Так как $\theta \in [0, \pi]$, $\sin\theta \ge 0$, поэтому $|\sin\theta| = \sin\theta$.
$\arcsin(2\sin\theta\cos\theta) = \arcsin(\sin(2\theta))$.

Тождество принимает вид: $\arcsin(\sin(2\theta)) = \arccos(\cos(2\theta))$.

Проанализируем это равенство в зависимости от $\theta$:
- Случай 1: $\theta \in [0, \pi/4]$. Это соответствует $x = \cos\theta \in [\cos(\pi/4), \cos(0)] = [1/\sqrt{2}, 1]$.
В этом случае $2\theta \in [0, \pi/2]$.
ЛХС: $\arcsin(\sin(2\theta)) = 2\theta$.
РХС: $\arccos(\cos(2\theta)) = 2\theta$.
Равенство $2\theta=2\theta$ выполняется. Значит, тождество верно для $x \in [1/\sqrt{2}, 1]$.

- Случай 2: $\theta \in (\pi/4, \pi/2]$. Это соответствует $x = \cos\theta \in [0, 1/\sqrt{2})$.
В этом случае $2\theta \in (\pi/2, \pi]$.
ЛХС: $\arcsin(\sin(2\theta)) = \pi - 2\theta$.
РХС: $\arccos(\cos(2\theta)) = 2\theta$.
Равенство $\pi - 2\theta = 2\theta$ дает $4\theta = \pi$, или $\theta = \pi/4$, что не входит в рассматриваемый интервал.

- Случай 3: $\theta \in (\pi/2, 3\pi/4]$. Это соответствует $x = \cos\theta \in [-1/\sqrt{2}, 0)$.
В этом случае $2\theta \in (\pi, 3\pi/2]$.
ЛХС: $\arcsin(\sin(2\theta)) = \pi - 2\theta$.
РХС: $\arccos(\cos(2\theta)) = 2\pi - 2\theta$.
Равенство $\pi - 2\theta = 2\pi - 2\theta$ дает $\pi = 2\pi$, что неверно.

- Случай 4: $\theta \in (3\pi/4, \pi]$. Это соответствует $x = \cos\theta \in [-1, -1/\sqrt{2})$.
В этом случае $2\theta \in (3\pi/2, 2\pi]$.
ЛХС: $\arcsin(\sin(2\theta)) = 2\theta - 2\pi$.
РХС: $\arccos(\cos(2\theta)) = 2\pi - 2\theta$.
Равенство $2\theta - 2\pi = 2\pi - 2\theta$ дает $4\theta = 4\pi$, или $\theta = \pi$. Это соответствует $x = \cos(\pi) = -1$. В этой единственной точке тождество верно.

Ответ: Тождество верно при $x \in [1/\sqrt{2}, 1]$ и при $x = -1$.