Страница 95 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 3.52–3.58 решите уравнения.

3. 52.

1) $ \arcsin 2x = \frac{\pi}{2}; $

2) $ \arccos \frac{x}{3} = \frac{\pi}{4}; $

3) $ \arctg 3x = \frac{\pi}{3}; $

4) $ \arctg \frac{x}{2} = \frac{\pi}{6}. $

1) В уравнении $ \arcsin 2x = \frac{\pi}{2} $, согласно определению арксинуса, аргумент функции $ 2x $ равен синусу угла в правой части. Таким образом, $ 2x = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) $. Поскольку $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $, получаем уравнение $ 2x = 1 $. Отсюда находим $ x = \frac{1}{2} $. Проверка: аргумент арксинуса $ 2x = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $ принадлежит области определения $ [-1, 1] $, а значение $ \frac{\pi}{2} $ принадлежит области значений $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Решение верно.

Ответ: $ x = \frac{1}{2} $.

2) В уравнении $ \arccos \frac{x}{3} = \frac{\pi}{4} $, по определению арккосинуса, аргумент $ \frac{x}{3} $ равен косинусу угла $ \frac{\pi}{4} $. Таким образом, $ \frac{x}{3} = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) $. Поскольку $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем уравнение $ \frac{x}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Умножая обе части на 3, находим $ x = \frac{3\sqrt{2}}{2} $. Проверка: аргумент арккосинуса $ \frac{x}{3} = \frac{3\sqrt{2}/2}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ принадлежит области определения $ [-1, 1] $, а значение $ \frac{\pi}{4} $ принадлежит области значений $ [0, \pi] $. Решение верно.

Ответ: $ x = \frac{3\sqrt{2}}{2} $.

3) В уравнении $ \text{arctg } 3x = \frac{\pi}{3} $, по определению арктангенса, аргумент $ 3x $ равен тангенсу угла $ \frac{\pi}{3} $. Таким образом, $ 3x = \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) $. Поскольку $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} $, получаем уравнение $ 3x = \sqrt{3} $. Разделив обе части на 3, находим $ x = \frac{\sqrt{3}}{3} $. Область определения арктангенса — все действительные числа, поэтому дополнительная проверка не требуется.

Ответ: $ x = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

4) В уравнении $ \text{arctg } \frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} $, по определению арктангенса, аргумент $ \frac{x}{2} $ равен тангенсу угла $ \frac{\pi}{6} $. Таким образом, $ \frac{x}{2} = \text{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) $. Поскольку $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} $, получаем уравнение $ \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} $. Умножая обе части на 2, находим $ x = \frac{2\sqrt{3}}{3} $. Область определения арктангенса — все действительные числа, поэтому дополнительная проверка не требуется.

Ответ: $ x = \frac{2\sqrt{3}}{3} $.

3.53. 1) $\arcsin\left(\frac{x}{2}-3\right)=\frac{\pi}{3}$;

2) $\arccos(1-2x)=\frac{\pi}{2}$;

3) $\operatorname{arctg}(2-3x)=-\frac{\pi}{4}$;

4) $\operatorname{arcctg}(3x+2)=\frac{\pi}{4}$.

1)Дано уравнение $arcsin(\frac{x}{2}-3) = \frac{\pi}{3}$.
По определению арксинуса, если $arcsin(a)=b$, то $a = sin(b)$. При этом значение $b$ должно принадлежать отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, а значение $a$ — отрезку $[-1, 1]$.
В нашем случае $b = \frac{\pi}{3}$, что входит в указанный диапазон.
Следовательно, мы можем преобразовать уравнение к виду:
$\frac{x}{2}-3 = sin(\frac{\pi}{3})$
Зная, что $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$\frac{x}{2}-3 = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Теперь решим это уравнение относительно $x$:
$\frac{x}{2} = 3 + \frac{\sqrt{3}}{2}$
$x = 2 \cdot (3 + \frac{\sqrt{3}}{2})$
$x = 6 + \sqrt{3}$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию $-1 \le \frac{x}{2}-3 \le 1$.
Подставим $x = 6 + \sqrt{3}$: $\frac{6 + \sqrt{3}}{2} - 3 = 3 + \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Значение $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.732}{2} = 0.866$, что принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Условие выполняется.
Ответ: $x = 6 + \sqrt{3}$.

2)Дано уравнение $arccos(1-2x) = \frac{\pi}{2}$.
По определению арккосинуса, если $arccos(a)=b$, то $a = cos(b)$. При этом значение $b$ должно принадлежать отрезку $[0, \pi]$, а значение $a$ — отрезку $[-1, 1]$.
В нашем случае $b = \frac{\pi}{2}$, что входит в указанный диапазон.
Преобразуем уравнение:
$1-2x = cos(\frac{\pi}{2})$
Зная, что $cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем:
$1-2x = 0$
Решим уравнение:
$2x = 1$
$x = \frac{1}{2}$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию $-1 \le 1-2x \le 1$.
Подставим $x = \frac{1}{2}$: $1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 - 1 = 0$.
Значение $0$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Условие выполняется.
Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

3)Дано уравнение $arctg(2-3x) = -\frac{\pi}{4}$.
По определению арктангенса, если $arctg(a)=b$, то $a = tg(b)$. При этом значение $b$ должно принадлежать интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, а $a$ может быть любым действительным числом.
В нашем случае $b = -\frac{\pi}{4}$, что входит в указанный интервал.
Преобразуем уравнение:
$2-3x = tg(-\frac{\pi}{4})$
Зная, что $tg(-\frac{\pi}{4}) = -tg(\frac{\pi}{4}) = -1$, получаем:
$2-3x = -1$
Решим уравнение:
$3x = 2 + 1$
$3x = 3$
$x = 1$
Так как область определения арктангенса — все действительные числа, дополнительная проверка не требуется.
Ответ: $x = 1$.

4)Дано уравнение $arcctg(3x+2) = \frac{\pi}{4}$.
По определению арккотангенса, если $arcctg(a)=b$, то $a = ctg(b)$. При этом значение $b$ должно принадлежать интервалу $(0, \pi)$, а $a$ может быть любым действительным числом.
В нашем случае $b = \frac{\pi}{4}$, что входит в указанный интервал.
Преобразуем уравнение:
$3x+2 = ctg(\frac{\pi}{4})$
Зная, что $ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:
$3x+2 = 1$
Решим уравнение:
$3x = 1 - 2$
$3x = -1$
$x = -\frac{1}{3}$
Так как область определения арккотангенса — все действительные числа, дополнительная проверка не требуется.
Ответ: $x = -\frac{1}{3}$.

3.54. 1) $\text{arctg}^2 \frac{x}{3} - 4\text{arctg} \frac{x}{3} - 5 = 0$;

2) $\text{arctg}^2 (3x + 2) + 2\text{arctg}(3x + 2) = 0$;

3) $2\arcsin x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi^2}{9}\arcsin x$;

4) $3\text{arctg}^2 x - 4\text{arctg}x + \pi^2 = 0$.

1) Данное уравнение $arctg^2 \frac{x}{3} - 4arctg \frac{x}{3} - 5 = 0$ является квадратным относительно $arctg \frac{x}{3}$.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = arctg \frac{x}{3}$. Тогда уравнение примет вид:
$y^2 - 4y - 5 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней.
Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$.
Корни уравнения:
$y_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5$
$y_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4 - 6}{2} = -1$
Теперь вернемся к исходной переменной.
1. $arctg \frac{x}{3} = 5$
Область значений функции арктангенс - это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Приближенно это $(-1.57; 1.57)$.
Поскольку $5$ не принадлежит этому интервалу, данное уравнение не имеет решений.
2. $arctg \frac{x}{3} = -1$
Значение $-1$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, так как $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$.
Из этого уравнения находим $x$:
$\frac{x}{3} = tg(-1)$
Так как тангенс - нечетная функция, $tg(-1) = -tg(1)$.
$\frac{x}{3} = -tg(1)$
$x = -3tg(1)$
Ответ: $x = -3\text{tg}(1)$.

2) Рассмотрим уравнение $arctg^2(3x+2) + 2arctg(3x+2) = 0$.
Вынесем общий множитель $arctg(3x+2)$ за скобки:
$arctg(3x+2) \cdot (arctg(3x+2) + 2) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
1. $arctg(3x+2) = 0$
$3x+2 = tg(0)$
$3x+2 = 0$
$3x = -2$
$x = -\frac{2}{3}$
2. $arctg(3x+2) + 2 = 0$
$arctg(3x+2) = -2$
Область значений функции $y = arctg(z)$ есть интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, что примерно равно $(-1.57; 1.57)$.
Поскольку $-2$ не входит в этот интервал, данное уравнение не имеет решений.
Таким образом, единственным решением является $x = -\frac{2}{3}$.
Ответ: $x = -\frac{2}{3}$.

3) Дано уравнение $2\arcsin x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi^2}{9} - \arcsin x$.
Это линейное уравнение относительно $\arcsin x$. Перенесем все члены с $\arcsin x$ в левую часть:
$2\arcsin x + \arcsin x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi^2}{9}$
$3\arcsin x = \frac{3\pi + \pi^2}{9}$
$\arcsin x = \frac{3\pi + \pi^2}{27}$
Для существования решения необходимо, чтобы значение $\frac{3\pi + \pi^2}{27}$ находилось в области значений арксинуса, то есть в отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Проверим это условие. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$:
$\frac{3(3.14) + (3.14)^2}{27} = \frac{9.42 + 9.86}{27} = \frac{19.28}{27} \approx 0.714$
Диапазон $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ примерно равен $[-1.57; 1.57]$.
Поскольку $-1.57 \le 0.714 \le 1.57$, найденное значение для $\arcsin x$ является допустимым.
Тогда решение для $x$ имеет вид:
$x = \sin(\frac{3\pi + \pi^2}{27})$
Ответ: $x = \sin(\frac{3\pi + \pi^2}{27})$.

4) Дано уравнение $3arctg^2 x - 4\pi arctg x + \pi^2 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $arctg x$. Сделаем замену $y = arctg x$:
$3y^2 - 4\pi y + \pi^2 = 0$
Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта.
$D = (-4\pi)^2 - 4 \cdot 3 \cdot \pi^2 = 16\pi^2 - 12\pi^2 = 4\pi^2 = (2\pi)^2$
Корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{4\pi + \sqrt{4\pi^2}}{2 \cdot 3} = \frac{4\pi + 2\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} = \pi$
$y_2 = \frac{4\pi - \sqrt{4\pi^2}}{2 \cdot 3} = \frac{4\pi - 2\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$
Вернемся к замене $y = arctg x$.
1. $arctg x = \pi$
Область значений функции арктангенс - это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Поскольку $\pi$ не принадлежит этому интервалу, это уравнение не имеет решений.
2. $arctg x = \frac{\pi}{3}$
Значение $\frac{\pi}{3}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, так что решение существует.
$x = tg(\frac{\pi}{3})$
$x = \sqrt{3}$
Ответ: $x = \sqrt{3}$.

3.55. 1) $\arccos \frac{x}{2} = 2\arctan (x-1)$;

2) $\arccos x - \pi = \arcsin \frac{4x}{3}$;

3) $\arctan 2x + \arctan 3x = \frac{3\pi}{4}$;

4) $\arcsin x + \arccos (x-1) = \pi$.

1) $\arccos{\frac{x}{2}}=2\arctg{(x-1)}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Аргумент арккосинуса должен быть в пределах от -1 до 1:
$-1 \le \frac{x}{2} \le 1 \implies -2 \le x \le 2$.
Область значений функции арккосинус: $0 \le \arccos{\frac{x}{2}} \le \pi$.
Область значений функции арктангенс: $-\frac{\pi}{2} < \arctg{(x-1)} < \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, область значений правой части уравнения: $-\pi < 2\arctg{(x-1)} < \pi$.
Чтобы равенство выполнялось, значения обеих частей должны совпадать, поэтому:
$0 \le 2\arctg{(x-1)} \le \pi \implies 0 \le \arctg{(x-1)} \le \frac{\pi}{2}$.
Так как тангенс — возрастающая функция на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, то:
$\tg(0) \le x-1 \implies 0 \le x-1 \implies x \ge 1$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in [1, 2]$.

Возьмем косинус от обеих частей уравнения:
$\cos(\arccos{\frac{x}{2}}) = \cos(2\arctg{(x-1)})$.
$\frac{x}{2} = \cos(2\alpha)$, где $\alpha = \arctg(x-1)$. Отсюда $\tg\alpha = x-1$.
Используем формулу косинуса двойного угла через тангенс: $\cos(2\alpha) = \frac{1-\tg^2\alpha}{1+\tg^2\alpha}$.
Подставляем $\tg\alpha = x-1$:
$\frac{x}{2} = \frac{1-(x-1)^2}{1+(x-1)^2} = \frac{1-(x^2-2x+1)}{1+(x^2-2x+1)} = \frac{-x^2+2x}{x^2-2x+2}$.
$x(x^2-2x+2) = 2(-x^2+2x)$.
$x^3 - 2x^2 + 2x = -2x^2 + 4x$.
$x^3 - 2x = 0$.
$x(x^2-2) = 0$.
Корни уравнения: $x_1=0$, $x_2=\sqrt{2}$, $x_3=-\sqrt{2}$.

Проверим корни на принадлежность ОДЗ $x \in [1, 2]$.
$x_1=0$ не принадлежит ОДЗ.
$x_3=-\sqrt{2}$ не принадлежит ОДЗ.
$x_2=\sqrt{2} \approx 1.414$, принадлежит ОДЗ.

Ответ: $x=\sqrt{2}$.

2) $\arccos{x}-\pi = \arcsin{\frac{4x}{3}}$

Найдем ОДЗ:
Для $\arccos{x}$: $-1 \le x \le 1$.
Для $\arcsin{\frac{4x}{3}}$: $-1 \le \frac{4x}{3} \le 1 \implies -\frac{3}{4} \le x \le \frac{3}{4}$.
Общее ОДЗ: $x \in [-\frac{3}{4}, \frac{3}{4}]$.

Оценим области значений левой и правой частей уравнения.
Левая часть: $0 \le \arccos{x} \le \pi \implies -\pi \le \arccos{x}-\pi \le 0$.
Правая часть: $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin{\frac{4x}{3}} \le \frac{\pi}{2}$.
Для выполнения равенства значение обеих частей должно лежать в пересечении этих диапазонов, то есть в $[-\frac{\pi}{2}, 0]$.
Из условия $\arcsin{\frac{4x}{3}} \le 0$ следует, что $\frac{4x}{3} \le 0$, то есть $x \le 0$.
С учетом ОДЗ получаем: $x \in [-\frac{3}{4}, 0]$.

Преобразуем уравнение: $\arccos{x} = \pi + \arcsin{\frac{4x}{3}}$.
Возьмем косинус от обеих частей:
$\cos(\arccos{x}) = \cos(\pi + \arcsin{\frac{4x}{3}})$.
$x = -\cos(\arcsin{\frac{4x}{3}})$.
Используем тождество $\cos(\arcsin{u}) = \sqrt{1-u^2}$ (справедливо, т.к. $\arcsin u \in [-\pi/2, \pi/2]$).
$x = -\sqrt{1 - (\frac{4x}{3})^2} = -\sqrt{1 - \frac{16x^2}{9}}$.
Поскольку $x \le 0$, а правая часть всегда неположительна, это преобразование корректно. Возведем обе части в квадрат:
$x^2 = 1 - \frac{16x^2}{9}$.
$x^2 + \frac{16x^2}{9} = 1$.
$\frac{9x^2+16x^2}{9} = 1 \implies \frac{25x^2}{9} = 1$.
$x^2 = \frac{9}{25} \implies x = \pm\frac{3}{5}$.

Проверяем корни с учетом условия $x \in [-\frac{3}{4}, 0]$.
$x = \frac{3}{5}$ не подходит.
$x = -\frac{3}{5}$ подходит, так как $-\frac{3}{4} = -0.75$, а $-\frac{3}{5} = -0.6$.

Ответ: $x=-\frac{3}{5}$.

3) $\arctg{2x} + \arctg{3x} = \frac{3\pi}{4}$

ОДЗ для арктангенса - все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.
Правая часть уравнения положительна ($\frac{3\pi}{4} > 0$). Сумма арктангенсов положительна, только если хотя бы один из аргументов положителен. Если $x < 0$, то $2x < 0$ и $3x < 0$, и оба арктангенса будут отрицательными, их сумма тоже будет отрицательной. Если $x=0$, то сумма равна 0. Следовательно, $x > 0$.

Возьмем тангенс от обеих частей уравнения, используя формулу тангенса суммы $\tg(\alpha+\beta) = \frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}$.
$\tg(\arctg{2x} + \arctg{3x}) = \tg(\frac{3\pi}{4})$.
$\frac{\tg(\arctg{2x})+\tg(\arctg{3x})}{1-\tg(\arctg{2x})\tg(\arctg{3x})} = -1$.
$\frac{2x+3x}{1-(2x)(3x)} = -1$.
$\frac{5x}{1-6x^2} = -1$.
$5x = -(1-6x^2) = -1+6x^2$.
$6x^2 - 5x - 1 = 0$.
Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-5)^2 - 4(6)(-1) = 25+24=49=7^2$.
$x_1 = \frac{5-7}{2 \cdot 6} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$.
$x_2 = \frac{5+7}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1$.

Согласно выводу, сделанному ранее, $x$ должен быть положительным. Поэтому корень $x_1 = -\frac{1}{6}$ является посторонним.
Проверим корень $x=1$:
$\arctg(2) + \arctg(3)$. Так как $2 > 1$ и $3 > 1$, то $\arctg(2) > \frac{\pi}{4}$ и $\arctg(3) > \frac{\pi}{4}$. Их сумма больше, чем $\frac{\pi}{2}$.
При взятии тангенса мы могли получить посторонние корни. Проверка по формуле суммы арктангенсов: $\arctg a + \arctg b = \pi + \arctg(\frac{a+b}{1-ab})$ при $a>0, b>0, ab>1$.
Для $x=1$, имеем $a=2, b=3$. $ab = 6 > 1$.
$\arctg(2) + \arctg(3) = \pi + \arctg(\frac{2+3}{1-2 \cdot 3}) = \pi + \arctg(\frac{5}{-5}) = \pi + \arctg(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Равенство выполняется.

Ответ: $x=1$.

4) $\arcsin{x} + \arccos{(x-1)} = \pi$

Найдем ОДЗ:
Для $\arcsin{x}$: $-1 \le x \le 1$.
Для $\arccos{(x-1)}$: $-1 \le x-1 \le 1 \implies 0 \le x \le 2$.
Общее ОДЗ: $x \in [0, 1]$.

Преобразуем уравнение: $\arccos{(x-1)} = \pi - \arcsin{x}$.
Возьмем косинус от обеих частей:
$\cos(\arccos{(x-1)}) = \cos(\pi - \arcsin{x})$.
$x-1 = -\cos(\arcsin{x})$.
Используем тождество $\cos(\arcsin{x}) = \sqrt{1-x^2}$ (справедливо, т.к. $x \in [-1,1]$):
$x-1 = -\sqrt{1-x^2}$.
Левая часть $x-1$ на ОДЗ $[0,1]$ принимает значения от $-1$ до $0$. Правая часть $-\sqrt{1-x^2}$ на ОДЗ $[0,1]$ также принимает значения от $-1$ до $0$. Преобразование корректно.
Возведем обе части в квадрат:
$(x-1)^2 = (-\sqrt{1-x^2})^2$.
$x^2-2x+1 = 1-x^2$.
$2x^2-2x=0$.
$2x(x-1)=0$.
Получаем два корня: $x_1=0$ и $x_2=1$.

Оба корня принадлежат ОДЗ $x \in [0, 1]$. Проверим их подстановкой в исходное уравнение.
При $x=0$:
$\arcsin(0) + \arccos(0-1) = \arcsin(0) + \arccos(-1) = 0 + \pi = \pi$. Верно.
При $x=1$:
$\arcsin(1) + \arccos(1-1) = \arcsin(1) + \arccos(0) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$. Верно.

Ответ: $x=0, x=1$.

3.56. 1) $ \arcsin x + \arccos \frac{x}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{2}; $

2) $ \arcsin 2x = 3 \arcsin x; $

3) $ \arccos x - \arcsin x = \arccos \sqrt{3}x; $

4) $ \arccos x - \arcsin x = \arcsin (2 - 3x). $

1) $\arcsin x + \arccos \frac{x}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{2}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы функций $\arcsin$ и $\arccos$ должны находиться в пределах от -1 до 1:

$\begin{cases} -1 \le x \le 1 \\ -1 \le \frac{x}{\sqrt{3}} \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} -1 \le x \le 1 \\ -\sqrt{3} \le x \le \sqrt{3} \end{cases}$

Пересечением этих условий является интервал $x \in [-1, 1]$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\arcsin t + \arccos t = \frac{\pi}{2}$.Преобразуем исходное уравнение, выразив $\arcsin x$:

$\arcsin x = \frac{\pi}{2} - \arccos \frac{x}{\sqrt{3}}$

Из тождества $\arcsin t = \frac{\pi}{2} - \arccos t$ следует, что правая часть нашего уравнения равна $\arcsin \frac{x}{\sqrt{3}}$.Таким образом, уравнение принимает вид:

$\arcsin x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{3}}$

Так как функция $\arcsin t$ является монотонно возрастающей, мы можем приравнять ее аргументы:

$x = \frac{x}{\sqrt{3}}$

$x - \frac{x}{\sqrt{3}} = 0$

$x(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}) = 0$

Отсюда следует, что $x = 0$.

Найденный корень $x=0$ принадлежит ОДЗ. Проверим его, подставив в исходное уравнение:

$\arcsin 0 + \arccos \frac{0}{\sqrt{3}} = \arcsin 0 + \arccos 0 = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Равенство выполняется.

Ответ: $x=0$.

2) $\arcsin 2x = 3 \arcsin x$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} -1 \le 2x \le 1 \\ -1 \le x \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} -1/2 \le x \le 1/2 \\ -1 \le x \le 1 \end{cases}$

Пересечением является $x \in [-1/2, 1/2]$.

Также, значение функции $\arcsin(2x)$ должно находиться в области значений правой части. Область значений функции $\arcsin$ это $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Значит, должно выполняться условие:

$-\frac{\pi}{2} \le 3 \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$

$-\frac{\pi}{6} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{6}$

Так как $\sin t$ - возрастающая функция на $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то:

$\sin(-\frac{\pi}{6}) \le x \le \sin(\frac{\pi}{6})$

$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$. Это условие совпадает с ОДЗ.

Возьмем синус от обеих частей уравнения:

$\sin(\arcsin 2x) = \sin(3 \arcsin x)$

$2x = \sin(3 \arcsin x)$

Пусть $\alpha = \arcsin x$, тогда $x = \sin \alpha$. Используем формулу синуса тройного угла $\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$.

$2x = 3x - 4x^3$

$4x^3 - x = 0$

$x(4x^2 - 1) = 0$

$x(2x-1)(2x+1) = 0$

Получаем три корня: $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{1}{2}$, $x_3 = -\frac{1}{2}$.

Все три корня принадлежат ОДЗ $x \in [-1/2, 1/2]$.

Ответ: $x=0, x=1/2, x=-1/2$.

3) $\arccos x - \arcsin x = \arccos \sqrt{3x}$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} -1 \le x \le 1 \\ \sqrt{3x} \ge 0 \\ -1 \le \sqrt{3x} \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} -1 \le x \le 1 \\ x \ge 0 \\ 3x \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ x \le 1/3 \end{cases}$

ОДЗ: $x \in [0, 1/3]$.

Используем тождество $\arcsin x = \frac{\pi}{2} - \arccos x$. Подставим его в уравнение:

$\arccos x - (\frac{\pi}{2} - \arccos x) = \arccos \sqrt{3x}$

$2\arccos x - \frac{\pi}{2} = \arccos \sqrt{3x}$

Возьмем косинус от обеих частей:

$\cos(2\arccos x - \frac{\pi}{2}) = \cos(\arccos \sqrt{3x})$

Используя формулу приведения $\cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin \alpha$, получаем:

$\sin(2\arccos x) = \sqrt{3x}$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$. Пусть $\alpha = \arccos x$. Тогда $\cos\alpha=x$.Так как $x \in [0, 1/3]$, то $\alpha = \arccos x \in [\arccos(1/3), \pi/2]$, значит $\sin\alpha \ge 0$.Следовательно, $\sin\alpha = \sqrt{1-\cos^2\alpha} = \sqrt{1-x^2}$.

$2\sqrt{1-x^2} \cdot x = \sqrt{3x}$

$2x\sqrt{1-x^2} - \sqrt{3}\sqrt{x} = 0$

$\sqrt{x}(2x\sqrt{1-x^2}/\sqrt{x} - \sqrt{3}) = 0$. Поскольку $x\ge 0$, $x/\sqrt{x} = \sqrt{x}$.

$\sqrt{x}(2\sqrt{x}\sqrt{1-x^2} - \sqrt{3}) = 0$

Отсюда либо $\sqrt{x} = 0 \implies x=0$, либо $2\sqrt{x(1-x^2)} = \sqrt{3}$.

Рассмотрим второе уравнение: $2\sqrt{x-x^3} = \sqrt{3}$. Возведем обе части в квадрат:

$4(x-x^3) = 3$

$4x-4x^3=3$

$4x^3 - 4x + 3 = 0$.

Проверим корень $x=0$: $\arccos 0 - \arcsin 0 = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$. $\arccos(\sqrt{3 \cdot 0}) = \arccos 0 = \frac{\pi}{2}$. Равенство верно. $x=0$ - корень.

Можно решить иначе, не деля на $\sqrt{x}$:$2x\sqrt{1-x^2} = \sqrt{3x}$.Возводим в квадрат (обе части неотрицательны на ОДЗ):$4x^2(1-x^2) = 3x$$4x^2 - 4x^4 = 3x$$4x^4 - 4x^2 + 3x = 0$$x(4x^3 - 4x + 3) = 0$Один корень $x=0$.Рассмотрим кубическое уравнение $4x^3 - 4x + 3 = 0$. Пусть $f(x)=4x^3 - 4x + 3$. На ОДЗ $x\in[0, 1/3]$, $f(0)=3 > 0$, $f(1/3) = 4/27 - 4/3 + 3 = (4 - 36 + 81)/27 = 49/27 > 0$.Найдем производную: $f'(x) = 12x^2 - 4 = 4(3x^2 - 1)$. На интервале $(0, 1/3)$ производная $f'(x) < 0$, значит функция убывает. Так как $f(1/3)>0$ и $f(0)>0$, то на отрезке $[0, 1/3]$ других корней нет.

Ответ: $x=0$.

4) $\arccos x - \arcsin x = \arcsin(2-3x)$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} -1 \le x \le 1 \\ -1 \le 2-3x \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} -1 \le x \le 1 \\ -3 \le -3x \le -1 \end{cases} \implies \begin{cases} -1 \le x \le 1 \\ 1/3 \le x \le 1 \end{cases}$

ОДЗ: $x \in [1/3, 1]$.

Используем тождество $\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$:

$(\frac{\pi}{2} - \arcsin x) - \arcsin x = \arcsin(2-3x)$

$\frac{\pi}{2} - 2\arcsin x = \arcsin(2-3x)$

Возьмем синус от обеих частей уравнения:

$\sin(\frac{\pi}{2} - 2\arcsin x) = \sin(\arcsin(2-3x))$

$\cos(2\arcsin x) = 2-3x$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$. Пусть $\alpha = \arcsin x$.

$1 - 2\sin^2(\arcsin x) = 2-3x$

$1 - 2x^2 = 2-3x$

$2x^2 - 3x + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

$x_1 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

Оба корня принадлежат ОДЗ $x \in [1/3, 1]$. Проверим их.

Для $x=1/2$:$\arccos(1/2) - \arcsin(1/2) = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.$\arcsin(2-3 \cdot 1/2) = \arcsin(2-3/2) = \arcsin(1/2) = \frac{\pi}{6}$.Равенство $\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$ верно.

Для $x=1$:$\arccos(1) - \arcsin(1) = 0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$.$\arcsin(2-3 \cdot 1) = \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$.Равенство $-\frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$ верно.

Оба корня являются решениями.

Ответ: $x=1/2, x=1$.

3.57. 1) $ \arcsin x = \arccos \sqrt{1-x^2} $

2) $ \arccos x = \pi - \arcsin \sqrt{1-x^2} $

3) $ \arccos x = \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} $

4) $ \arcsin(2x\sqrt{1-x^2}) = \arccos(2x^2 - 1) $

1) $\arcsin x = \arccos\sqrt{1-x^2}$

Чтобы доказать это тождество, мы определим область допустимых значений (ОДЗ) и затем докажем равенство для этой области.

Определение ОДЗ:
1. Для функции $\arcsin x$, ОДЗ: $x \in [-1, 1]$.
2. Для функции $\arccos\sqrt{1-x^2}$, аргумент $\sqrt{1-x^2}$ должен быть в промежутке $[-1, 1]$.
- Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $1 - x^2 \ge 0$, что означает $x^2 \le 1$, или $x \in [-1, 1]$.
- Сам корень всегда неотрицателен, поэтому $\sqrt{1-x^2} \ge 0$.
- Также нужно проверить, что $\sqrt{1-x^2} \le 1$. Возведя в квадрат, получаем $1 - x^2 \le 1$, что дает $-x^2 \le 0$ или $x^2 \ge 0$. Это верно для любого $x$.
Таким образом, ОДЗ для обеих частей уравнения совпадает: $x \in [-1, 1]$.

Анализ области значений:
- Область значений функции $\arcsin x$ есть $[-\pi/2, \pi/2]$.
- Область значений функции $\arccos y$ есть $[0, \pi]$. Так как аргумент $y = \sqrt{1-x^2} \ge 0$, то область значений правой части есть $[0, \pi/2]$.
Равенство может выполняться только тогда, когда значения обеих частей неотрицательны. Для левой части, $\arcsin x \ge 0$, это означает, что $x \in [0, 1]$. Следовательно, тождество может быть верным только для $x \in [0, 1]$.

Доказательство для $x \in [0, 1]$:
Пусть $y = \arcsin x$. По определению, это означает, что $\sin y = x$ и $y \in [0, \pi/2]$ (поскольку мы рассматриваем $x \in [0, 1]$).

Нам нужно показать, что $y = \arccos\sqrt{1-x^2}$. Это эквивалентно тому, чтобы показать, что $\cos y = \sqrt{1-x^2}$.

Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$.
Отсюда, $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y = 1 - x^2$.
Так как $y \in [0, \pi/2]$, то $\cos y$ неотрицателен. Следовательно, $\cos y = \sqrt{1-x^2}$.

Поскольку $\cos y = \sqrt{1-x^2}$ и $y \in [0, \pi/2]$ (что является подмножеством области значений арккосинуса $[0, \pi]$), мы можем заключить, что $y = \arccos\sqrt{1-x^2}$.

Таким образом, мы доказали, что $\arcsin x = \arccos\sqrt{1-x^2}$ для $x \in [0, 1]$.
Замечание: Для $x \in [-1, 0)$, тождество неверно. Например, для $x=-1/2$, $\arcsin(-1/2) = -\pi/6$, а $\arccos\sqrt{1 - (-1/2)^2} = \arccos(\sqrt{3}/2) = \pi/6$.

Ответ: Тождество верно при $x \in [0, 1]$.

2) $\arccos x = \pi - \arcsin\sqrt{1-x^2}$

Определение ОДЗ:
1. Для $\arccos x$, ОДЗ: $x \in [-1, 1]$.
2. Для $\arcsin\sqrt{1-x^2}$, как и в предыдущем пункте, ОДЗ: $x \in [-1, 1]$.
Общая ОДЗ: $x \in [-1, 1]$.

Анализ области значений:
- Область значений $\arccos x$ есть $[0, \pi]$.
- Аргумент арксинуса $\sqrt{1-x^2}$ принимает значения в $[0, 1]$. Следовательно, область значений $\arcsin\sqrt{1-x^2}$ есть $[0, \pi/2]$.
- Область значений правой части $\pi - \arcsin\sqrt{1-x^2}$ есть $[\pi - \pi/2, \pi - 0] = [\pi/2, \pi]$.
Равенство может выполняться, только если значение левой части $\arccos x$ находится в промежутке $[\pi/2, \pi]$. Это соответствует $x \in [-1, 0]$.

Доказательство для $x \in [-1, 0]$:
Пусть $y = \arccos x$. По определению, $\cos y = x$ и $y \in [\pi/2, \pi]$ (так как $x \in [-1, 0]$).

Рассмотрим правую часть тождества:
$\pi - \arcsin\sqrt{1-x^2} = \pi - \arcsin\sqrt{1-\cos^2 y}$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$, откуда $\sqrt{1-\cos^2 y} = \sqrt{\sin^2 y} = |\sin y|$.
Поскольку $y \in [\pi/2, \pi]$, $\sin y$ неотрицателен, поэтому $|\sin y| = \sin y$.

Правая часть становится равной $\pi - \arcsin(\sin y)$.
Для $y \in [\pi/2, \pi]$, справедливо тождество $\arcsin(\sin y) = \pi - y$.
Подставляя это в выражение, получаем: $\pi - (\pi - y) = y$.

Левая часть равна $y$, и правая часть равна $y$. Тождество доказано для $x \in [-1, 0]$.
Замечание: Для $x \in (0, 1]$, тождество неверно. Например, для $x=1/2$, $\arccos(1/2) = \pi/3$, а $\pi - \arcsin\sqrt{1 - (1/2)^2} = \pi - \arcsin(\sqrt{3}/2) = \pi - \pi/3 = 2\pi/3$.

Ответ: Тождество верно при $x \in [-1, 0]$.

3) $\arccos x = \operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$

Определение ОДЗ:
1. Для $\arccos x$, ОДЗ: $x \in [-1, 1]$.
2. Для $\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$, необходимо, чтобы $1-x^2 \ge 0$ (т.е. $x \in [-1, 1]$) и знаменатель $x \neq 0$.
Общая ОДЗ: $x \in [-1, 0) \cup (0, 1]$.

Анализ области значений:
- Область значений $\arccos x$ есть $[0, \pi]$.
- Область значений $\operatorname{arctg} z$ есть $(-\pi/2, \pi/2)$.
Равенство может выполняться, только если значение $\arccos x$ находится в промежутке $[0, \pi/2)$. Это соответствует $x \in (0, 1]$.

Доказательство для $x \in (0, 1]$:
Пусть $y = \arccos x$. Тогда $\cos y = x$ и $y \in [0, \pi/2)$ (поскольку $x \in (0, 1]$).

Нам нужно показать, что $y = \operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$. Это эквивалентно тому, чтобы показать, что $\operatorname{tg} y = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$.

Выразим $\operatorname{tg} y$ через $x$:
$\operatorname{tg} y = \frac{\sin y}{\cos y}$.
Мы знаем, что $\cos y = x$.
$\sin y = \sqrt{1-\cos^2 y} = \sqrt{1-x^2}$. Мы берем положительный корень, так как $y \in [0, \pi/2)$, где синус неотрицателен.
Следовательно, $\operatorname{tg} y = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$.

Поскольку $\operatorname{tg} y = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$ и $y \in [0, \pi/2)$, что полностью входит в область значений арктангенса $(-\pi/2, \pi/2)$, мы можем заключить, что $y = \operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$.

Геометрическая интерпретация для $x \in (0, 1)$:
Рассмотрим прямоугольный треугольник с углом $y$, прилежащим катетом $x$ и гипотенузой 1. Тогда противолежащий катет будет равен $\sqrt{1^2-x^2} = \sqrt{1-x^2}$.

Из этого треугольника:$\cos y = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{x}{1} = x \implies y = \arccos x$.
$\operatorname{tg} y = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \implies y = \operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$.
Оба выражения равны $y$, значит, они равны между собой.

Замечание: Для $x \in [-1, 0)$, тождество неверно. $\arccos x$ принимает значения из $(\pi/2, \pi]$, а $\operatorname{arctg}(\dots)$ — из $(-\pi/2, 0)$.

Ответ: Тождество верно при $x \in (0, 1]$.

4) $\arcsin(2x\sqrt{1-x^2}) = \arccos(2x^2-1)$

Определение ОДЗ:
1. Для $\arcsin(2x\sqrt{1-x^2})$: $1-x^2 \ge 0 \implies x \in [-1, 1]$. Аргумент $2x\sqrt{1-x^2}$ при $x=\sin\theta$ равен $\sin(2\theta)$, поэтому он всегда находится в $[-1, 1]$.
2. Для $\arccos(2x^2-1)$: $-1 \le 2x^2-1 \le 1 \implies 0 \le 2x^2 \le 2 \implies 0 \le x^2 \le 1 \implies x \in [-1, 1]$.
Общая ОДЗ: $x \in [-1, 1]$.

Анализ области значений:
- Область значений левой части, $\arcsin(\dots)$, есть $[-\pi/2, \pi/2]$.
- Область значений правой части, $\arccos(\dots)$, есть $[0, \pi]$.
Равенство может выполняться, только если значение обеих частей находится в пересечении этих областей, то есть в $[0, \pi/2]$.
- $\arcsin(2x\sqrt{1-x^2}) \in [0, \pi/2] \implies 2x\sqrt{1-x^2} \ge 0 \implies x \ge 0$.
- $\arccos(2x^2-1) \in [0, \pi/2] \implies 2x^2-1 \ge \cos(\pi/2)=0 \implies x^2 \ge 1/2$.
Из этих двух условий следует, что $x \ge 1/\sqrt{2}$. Тождество может быть верным только для $x \in [1/\sqrt{2}, 1]$.

Доказательство:
Сделаем замену $x = \cos\theta$. Так как $x \in [-1, 1]$, мы можем выбрать $\theta = \arccos x$, что означает $\theta \in [0, \pi]$.

Рассмотрим правую часть:
$\arccos(2x^2-1) = \arccos(2\cos^2\theta - 1) = \arccos(\cos(2\theta))$.
По свойству $\arccos(\cos\alpha)$, результат зависит от интервала, в котором находится $\alpha=2\theta$.

Рассмотрим левую часть:
$\arcsin(2x\sqrt{1-x^2}) = \arcsin(2\cos\theta\sqrt{1-\cos^2\theta}) = \arcsin(2\cos\theta|\sin\theta|)$.
Так как $\theta \in [0, \pi]$, $\sin\theta \ge 0$, поэтому $|\sin\theta| = \sin\theta$.
$\arcsin(2\sin\theta\cos\theta) = \arcsin(\sin(2\theta))$.

Тождество принимает вид: $\arcsin(\sin(2\theta)) = \arccos(\cos(2\theta))$.

Проанализируем это равенство в зависимости от $\theta$:
- Случай 1: $\theta \in [0, \pi/4]$. Это соответствует $x = \cos\theta \in [\cos(\pi/4), \cos(0)] = [1/\sqrt{2}, 1]$.
В этом случае $2\theta \in [0, \pi/2]$.
ЛХС: $\arcsin(\sin(2\theta)) = 2\theta$.
РХС: $\arccos(\cos(2\theta)) = 2\theta$.
Равенство $2\theta=2\theta$ выполняется. Значит, тождество верно для $x \in [1/\sqrt{2}, 1]$.

- Случай 2: $\theta \in (\pi/4, \pi/2]$. Это соответствует $x = \cos\theta \in [0, 1/\sqrt{2})$.
В этом случае $2\theta \in (\pi/2, \pi]$.
ЛХС: $\arcsin(\sin(2\theta)) = \pi - 2\theta$.
РХС: $\arccos(\cos(2\theta)) = 2\theta$.
Равенство $\pi - 2\theta = 2\theta$ дает $4\theta = \pi$, или $\theta = \pi/4$, что не входит в рассматриваемый интервал.

- Случай 3: $\theta \in (\pi/2, 3\pi/4]$. Это соответствует $x = \cos\theta \in [-1/\sqrt{2}, 0)$.
В этом случае $2\theta \in (\pi, 3\pi/2]$.
ЛХС: $\arcsin(\sin(2\theta)) = \pi - 2\theta$.
РХС: $\arccos(\cos(2\theta)) = 2\pi - 2\theta$.
Равенство $\pi - 2\theta = 2\pi - 2\theta$ дает $\pi = 2\pi$, что неверно.

- Случай 4: $\theta \in (3\pi/4, \pi]$. Это соответствует $x = \cos\theta \in [-1, -1/\sqrt{2})$.
В этом случае $2\theta \in (3\pi/2, 2\pi]$.
ЛХС: $\arcsin(\sin(2\theta)) = 2\theta - 2\pi$.
РХС: $\arccos(\cos(2\theta)) = 2\pi - 2\theta$.
Равенство $2\theta - 2\pi = 2\pi - 2\theta$ дает $4\theta = 4\pi$, или $\theta = \pi$. Это соответствует $x = \cos(\pi) = -1$. В этой единственной точке тождество верно.

Ответ: Тождество верно при $x \in [1/\sqrt{2}, 1]$ и при $x = -1$.

3.58. 1) $2\arccos x = \arccos (2x^2 - 1)$;

2) $2\text{arctg}x = \arcsin \left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$;

3) $2\text{arctg}x = \arccos \frac{1-x^2}{1+x^2}$;

4) $\arccos x = \text{arctg} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.

1) Докажем тождество $2\arccos x = \arccos(2x^2 - 1)$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Для функции $\arccos x$ необходимо, чтобы $x \in [-1, 1]$. Для функции $\arccos(2x^2 - 1)$ необходимо, чтобы $-1 \le 2x^2 - 1 \le 1$. Это неравенство равносильно $0 \le 2x^2 \le 2$, или $0 \le x^2 \le 1$, что также выполняется для всех $x \in [-1, 1]$. Таким образом, обе части равенства определены при $x \in [-1, 1]$.

Пусть $\alpha = \arccos x$. По определению это означает, что $\cos \alpha = x$ и $\alpha \in [0, \pi]$.

Рассмотрим правую часть тождества: $\arccos(2x^2 - 1)$. Подставим в нее $x = \cos \alpha$:

$\arccos(2\cos^2 \alpha - 1)$

Используем тригонометрическую формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2 \alpha - 1$. Тогда правая часть преобразуется к виду:

$\arccos(\cos(2\alpha))$

По определению арккосинуса, $\arccos(\cos y) = y$ только в том случае, если $y$ принадлежит основному промежутку $[0, \pi]$. В нашем случае $y = 2\alpha = 2\arccos x$.

Следовательно, равенство $2\arccos x = \arccos(\cos(2\arccos x))$ будет верным, если $2\arccos x \in [0, \pi]$, что эквивалентно $\arccos x \in [0, \pi/2]$.

Условие $\arccos x \in [0, \pi/2]$ выполняется, когда $x \ge 0$. С учетом ОДЗ $x \in [-1, 1]$, получаем, что данное тождество справедливо при $x \in [0, 1]$.

Ответ: Тождество справедливо при $x \in [0, 1]$.

2) Докажем тождество $2\operatorname{arctg} x = \arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$.

ОДЗ для $\operatorname{arctg} x$ — все действительные числа, $x \in (-\infty, +\infty)$. Для $\arcsin y$ необходимо, чтобы $y \in [-1, 1]$. Проверим, выполняется ли условие $-1 \le \frac{2x}{1+x^2} \le 1$.

Неравенство $\frac{2x}{1+x^2} \le 1$ равносильно $2x \le 1+x^2$ (т.к. $1+x^2 > 0$), что дает $0 \le x^2 - 2x + 1$, или $(x-1)^2 \ge 0$. Это верно для любого $x$.

Неравенство $\frac{2x}{1+x^2} \ge -1$ равносильно $2x \ge -1-x^2$, что дает $x^2 + 2x + 1 \ge 0$, или $(x+1)^2 \ge 0$. Это также верно для любого $x$. Значит, обе части равенства определены для всех $x \in \mathbb{R}$.

Пусть $\alpha = \operatorname{arctg} x$. Тогда $\operatorname{tg} \alpha = x$ и $\alpha \in (-\pi/2, \pi/2)$.

Рассмотрим правую часть тождества, подставив $x = \operatorname{tg} \alpha$:

$\arcsin\left(\frac{2\operatorname{tg} \alpha}{1+\operatorname{tg}^2 \alpha}\right)$

Используем формулу синуса двойного угла через тангенс: $\sin(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg} \alpha}{1+\operatorname{tg}^2 \alpha}$. Правая часть становится:

$\arcsin(\sin(2\alpha))$

Равенство $\arcsin(\sin y) = y$ верно, если $y \in [-\pi/2, \pi/2]$. В нашем случае $y = 2\alpha = 2\operatorname{arctg} x$.

Значит, тождество справедливо при условии $2\operatorname{arctg} x \in [-\pi/2, \pi/2]$, что эквивалентно $\operatorname{arctg} x \in [-\pi/4, \pi/4]$. Это выполняется, когда $x \in [-1, 1]$.

Ответ: Тождество справедливо при $x \in [-1, 1]$.

3) Докажем тождество $2\operatorname{arctg} x = \arccos\frac{1-x^2}{1+x^2}$.

ОДЗ для левой части — все $x \in \mathbb{R}$. Для правой части нужно, чтобы $-1 \le \frac{1-x^2}{1+x^2} \le 1$.

Неравенство $\frac{1-x^2}{1+x^2} \le 1$ равносильно $1-x^2 \le 1+x^2$, что дает $-2x^2 \le 0$, или $x^2 \ge 0$. Это верно для всех $x$.

Неравенство $\frac{1-x^2}{1+x^2} \ge -1$ равносильно $1-x^2 \ge -1-x^2$, что дает $1 \ge -1$. Это тоже верно для всех $x$. Таким образом, обе части определены для всех $x \in \mathbb{R}$.

Пусть $\alpha = \operatorname{arctg} x$. Тогда $\operatorname{tg} \alpha = x$ и $\alpha \in (-\pi/2, \pi/2)$.

Подставим $x = \operatorname{tg} \alpha$ в правую часть:

$\arccos\left(\frac{1-\operatorname{tg}^2 \alpha}{1+\operatorname{tg}^2 \alpha}\right)$

Используем формулу косинуса двойного угла через тангенс: $\cos(2\alpha) = \frac{1-\operatorname{tg}^2 \alpha}{1+\operatorname{tg}^2 \alpha}$. Правая часть становится:

$\arccos(\cos(2\alpha))$

Равенство $\arccos(\cos y) = y$ верно при $y \in [0, \pi]$. В нашем случае $y = 2\alpha = 2\operatorname{arctg} x$.

Тождество справедливо, если $2\operatorname{arctg} x \in [0, \pi]$, что эквивалентно $\operatorname{arctg} x \in [0, \pi/2)$. Это выполняется при $x \ge 0$.

Ответ: Тождество справедливо при $x \ge 0$.

4) Проверим, является ли равенство $\arccos x = \operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ тождеством.

ОДЗ для левой части $\arccos x$ есть $x \in [-1, 1]$. Для правой части $\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ необходимо, чтобы подкоренное выражение было строго положительным: $1-x^2 > 0$, что означает $x^2 < 1$, или $x \in (-1, 1)$. Таким образом, возможное равенство может выполняться только на интервале $x \in (-1, 1)$.

Пусть равенство является тождеством на некотором интервале. Тогда для $x$ из этого интервала значения функций и их тангенсы должны быть равны. Сравним тангенсы левой и правой частей.

Пусть $\alpha = \arccos x$. Тогда $\cos \alpha = x$. Мы знаем, что $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, откуда $\sin \alpha = \sqrt{1-\cos^2\alpha} = \sqrt{1-x^2}$ (знак плюс, так как для $\alpha \in [0, \pi]$ синус неотрицателен).

Тангенс левой части:

$\operatorname{tg}(\arccos x) = \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$

Тангенс правой части:

$\operatorname{tg}\left(\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

Приравняем тангенсы:

$\frac{\sqrt{1-x^2}}{x} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

Перемножая крест-накрест (при $x \ne 0$), получаем:

$(\sqrt{1-x^2})^2 = x^2$

$1-x^2 = x^2$

$2x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{2}$

$x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$

Поскольку равенство выполняется не для всех $x$ из области определения, а только для двух конкретных значений, оно не является тождеством. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Правильным тождеством было бы, например, $\arcsin x = \operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ для $x \in (-1, 1)$.

Ответ: Данное равенство не является тождеством, так как оно выполняется только для $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.