Страница 88 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Решите самостоятельно

Системы вида

$\begin{cases} \sin x - \sin y = a, \\ x \pm y = \alpha; \end{cases}$, $\begin{cases} \cos x \pm \cos y = a, \\ x \pm y = \alpha; \end{cases}$, $\begin{cases} \sin x \pm \cos y = a, \\ x \pm y = \alpha \end{cases}$

решаются аналогично.

В представленном на изображении материале описывается общий метод решения определенного типа систем тригонометрических уравнений. Основная идея заключается в преобразовании одного из уравнений системы с помощью формул преобразования суммы или разности тригонометрических функций в произведение и последующей подстановки из второго, линейного, уравнения.

Рассмотрим подробно метод решения для каждого из указанных видов систем.

Системы вида $ \begin{cases} \sin x \pm \sin y = a \\ x \pm y = \alpha \end{cases} $

Для решения систем такого вида используется одна из формул преобразования суммы или разности синусов в произведение:
$ \sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $
$ \sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $

Рассмотрим в качестве примера систему $ \begin{cases} \sin x + \sin y = a \\ x + y = \alpha \end{cases} $.
1. Преобразуем первое уравнение с помощью формулы суммы синусов:
$ 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = a $

2. Подставим в полученное уравнение значение $ x+y = \alpha $ из второго уравнения системы:
$ 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = a $

3. Выразим $ \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $:
$ \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{a}{2 \sin(\alpha/2)} $ (при условии, что $ \sin(\alpha/2) \neq 0 $).
Обозначим правую часть как $ C = \frac{a}{2 \sin(\alpha/2)} $. Решения существуют только при $ |C| \le 1 $.

4. Решим полученное простейшее тригонометрическое уравнение:
$ \frac{x-y}{2} = \pm \arccos(C) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $
Отсюда получаем выражение для $ x-y $:
$ x-y = \pm 2 \arccos(C) + 4\pi k $

5. Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений относительно $ x $ и $ y $:
$ \begin{cases} x + y = \alpha \\ x - y = \pm 2 \arccos(C) + 4\pi k \end{cases} $

6. Решая эту систему (например, сложением и вычитанием уравнений), находим $ x $ и $ y $:
$ 2x = \alpha \pm 2 \arccos(C) + 4\pi k \implies x = \frac{\alpha}{2} \pm \arccos(C) + 2\pi k $
$ 2y = \alpha \mp 2 \arccos(C) - 4\pi k \implies y = \frac{\alpha}{2} \mp \arccos(C) - 2\pi k $

Аналогично решаются и другие комбинации знаков в системе. Например, для системы $ \begin{cases} \sin x - \sin y = a \\ x + y = \alpha \end{cases} $ используется формула разности синусов, что приводит к уравнению для $ \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) $.
Ответ: Метод решения заключается в применении формул преобразования суммы/разности синусов в произведение к первому уравнению, подстановке известной суммы/разности переменных из второго уравнения, решении полученного простейшего тригонометрического уравнения для нахождения второй линейной комбинации переменных и, наконец, решении системы двух линейных уравнений.

Системы вида $ \begin{cases} \cos x \pm \cos y = a \\ x \pm y = \alpha \end{cases} $

Решение этих систем полностью аналогично предыдущему типу, но с использованием формул для суммы или разности косинусов:
$ \cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $
$ \cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $

Рассмотрим в качестве примера систему $ \begin{cases} \cos x - \cos y = a \\ x + y = \alpha \end{cases} $.
1. Преобразуем первое уравнение с помощью формулы разности косинусов:
$ -2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) = a $

2. Подставим значение $ x+y = \alpha $ из второго уравнения:
$ -2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) = a $

3. Выразим $ \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) $:
$ \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{a}{-2 \sin(\alpha/2)} $ (при условии, что $ \sin(\alpha/2) \neq 0 $).
Обозначим правую часть как $ S = -\frac{a}{2 \sin(\alpha/2)} $. Решения существуют только при $ |S| \le 1 $.

4. Решим простейшее тригонометрическое уравнение:
$ \frac{x-y}{2} = (-1)^k \arcsin(S) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $
Отсюда получаем выражение для $ x-y $:
$ x-y = 2(-1)^k \arcsin(S) + 2\pi k $

5. Составляем и решаем систему линейных уравнений:
$ \begin{cases} x + y = \alpha \\ x - y = 2(-1)^k \arcsin(S) + 2\pi k \end{cases} $

6. Находим $ x $ и $ y $:
$ x = \frac{\alpha + 2(-1)^k \arcsin(S) + 2\pi k}{2} $
$ y = \frac{\alpha - (2(-1)^k \arcsin(S) + 2\pi k)}{2} $

Ответ: Метод решения заключается в применении формул преобразования суммы/разности косинусов в произведение к первому уравнению, подстановке известной суммы/разности переменных из второго уравнения, решении полученного простейшего тригонометрического уравнения и последующем решении системы двух линейных уравнений.

Системы вида $ \begin{cases} \sin x \pm \cos y = a \\ x \pm y = \alpha \end{cases} $

Этот тип систем решается аналогично, но требует предварительного шага — приведения обеих тригонометрических функций к одному наименованию (обе к синусу или обе к косинусу) с помощью формул приведения. Например, $ \cos y = \sin\left(\frac{\pi}{2}-y\right) $.

Рассмотрим в качестве примера систему $ \begin{cases} \sin x + \cos y = a \\ x - y = \alpha \end{cases} $.
1. Заменим $ \cos y $ на $ \sin\left(\frac{\pi}{2}-y\right) $. Первое уравнение примет вид:
$ \sin x + \sin\left(\frac{\pi}{2}-y\right) = a $

2. Теперь применим формулу суммы синусов:
$ 2 \sin\left(\frac{x + \frac{\pi}{2} - y}{2}\right) \cos\left(\frac{x - (\frac{\pi}{2} - y)}{2}\right) = a $
$ 2 \sin\left(\frac{x-y+\pi/2}{2}\right) \cos\left(\frac{x+y-\pi/2}{2}\right) = a $

3. Подставим значение $ x-y = \alpha $ из второго уравнения системы:
$ 2 \sin\left(\frac{\alpha+\pi/2}{2}\right) \cos\left(\frac{x+y-\pi/2}{2}\right) = a $

4. Выразим и решим уравнение относительно косинуса:
$ \cos\left(\frac{x+y-\pi/2}{2}\right) = \frac{a}{2 \sin\left(\frac{\alpha+\pi/2}{2}\right)} $ (при условии, что знаменатель не равен нулю).
Пусть $ C = \frac{a}{2 \sin((\alpha+\pi/2)/2)} $. Решения есть при $ |C| \le 1 $.
$ \frac{x+y-\pi/2}{2} = \pm \arccos(C) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $
$ x+y-\frac{\pi}{2} = \pm 2 \arccos(C) + 4\pi k $
$ x+y = \frac{\pi}{2} \pm 2 \arccos(C) + 4\pi k $

5. Составляем и решаем систему линейных уравнений:
$ \begin{cases} x - y = \alpha \\ x + y = \frac{\pi}{2} \pm 2 \arccos(C) + 4\pi k \end{cases} $

6. Находим $ x $ и $ y $:
$ x = \frac{\alpha + \frac{\pi}{2} \pm 2 \arccos(C) + 4\pi k}{2} $
$ y = \frac{-\alpha + \frac{\pi}{2} \pm 2 \arccos(C) + 4\pi k}{2} $

Ответ: Метод решения заключается в приведении тригонометрических функций к одному наименованию с помощью формул приведения, последующем применении формул преобразования суммы/разности в произведение, подстановке из линейного уравнения, решении простейшего тригонометрического уравнения и, наконец, решении системы двух линейных уравнений.